tak dzisiaj mamy do umówienia pojęcie

odkształcenie należy pamiętać że

odkształcenie w mechanice ośrodków

ciągłych opowiada nam o bardzo

niewielkich zmianach względnych wymiarów

ciała lub też jakiegoś pod obszaru

bardzo małego danego ciała

wi zazwyczaj odkształcenie mierzymy w

tak zwanych mikr strin mikro to jest 10

do minus

S dla porównania procent to jest 10 do

min2 Promil skąd ą co po niektórym znany

to 10 do min TR także to jest dużo

mniejsza jednost

wymar zmiany względnych wymiarów ciała

niż ja to będę opowiadał W tym

przykładzie intuicyjnym za chwilę a więc

zacznę właśnie od intuicji za

odkształceniem weźmy sobie

Jasia Jasio ma metr jak ma C latka a po

latach ten chłopczyk urósł

do A Wi ó 10

cm a więc względna zmiana wymiarów jego

ciała może być policzona z takich

podstawowych wzorów one wyglądają może

na pierwszy rzut oka jakoś strasznie ale

wcale nie są straszne a więc mamy

wysokość po zmianie W tym przypadku

nastąpił

wzrost czy też kom JAS

Czyli mamy Met minus stary wzrost Czyli

jak miał 4 latka minus metr przez stary

wzrost bo musimy odnieść to do bazy

Czyli mamy 10 cm przez metr no to to

jest nie chce być inaczej jak 110 czyli

10 PR tak jak mówię w mechanice ośrodków

ciągłych nie operujemy tak

ogromnymi zmianami zazwyczaj to są

zmiany w mikr a

dużo dużo

mniejsze i to jest taki prosty przykład

który tylko pozwala na

intuicję za średnim liniowym

odkształceniem względnym bo właśnie tak

powinniśmy nazywać tę wielkość o

definicji

odkształcenia Nazwijmy to w cudzysłowiu

zwykłego czyli nie średniego opowiemy

sobie za chwilę i do niej dojdziemy Ale

zaczniemy właśnie od tego prostszego

pojęcia Jakie jest średni liniowe

odkształcenie

względne No i problem jest taki że

jeżeli mówimy o średnim liniowym

odkształceniu względnym ja tak naprawdę

biorę dół stopy Jasia i górę czubka jego

głowy ja tak naprawdę nie wiem jak Jasio

urósł Czy jemu urosły głównie nogi czy

głównie kości piszczelowe a może jemu

głównie urósł korpus A może głównie

wyciągnęło go tutaj w szyi a może

głównie

może równie dlat wiks od Jas sprzed DW

lat tego nie wiemy za pomocą średniego

liniowego odkształcenia względnego która

łapie za jakieś dwa konkretne punkty

mocno oddalone od siebie i oblicza tylko

globalne

zmiany

jeżeli Ale cię wyciągnęło i zazwyczaj

dziadek lub babcia ma na myśli nie tylko

zmianę wzrostu Jasia ale też to że Jasiu

był troszeczkę taki pucuł tym

baskiem był lekko przy ciele tak mówimy

a po tych dwóch latach chłopak urósł ale

też

względnie jego wymiar poprzeczny zmalał

a więc mówiąc wprost Jasiu schudł i

poprawił swoje BMI

i tą zmianę że jeżeli dane ciało

względnie przyrasta mu długość a

zmniejsza się jego wymiar poprzeczny tą

zmianę charakteryzuje odkształcenie w

drugim kierunku Czyli jeżeli byśmy w

pionie mieli oś yy a w poziomie oś XX to

jest to właśnie odkształcenie zmi zmiana

odkształcenia w drugim kierunku A więc

to jest średnie liniowe odkształcenie

względne ale

io jest z przeciwnym znakiem do tego

pierwszego odkształcenia dlatego że

Jasia wyciągnęła więc ma wzrost wzrostu

ale spadek obwodu talii dlatego jest

ujemne i ono zazwyczaj zależy od liczby

pona dla powiedzmy takich

Mater beton 032

oczywiście jest

zmienne w zależności od materiału no i

niestety w niektórych materiałach zdarza

się że zależny też od

kierunku osi poprzecznej którą

rozpatrujemy

w takich materiałach

izotropowych jakim jest na przykład stal

tego problemu nie mamy i zawsze mamy

03 A więc to jest średni liniowe

odkształcenie względne tak w

uzupełnieniu tego co mówimy należy

uwypuklić że oczywiście opowieść o Jasiu

to jest taka luźna na razie bardzo

wstępna analogia na znacznie zbyt dużych

wartościach odkształceń niż mamy to niż

obserwujemy to w konstrukcjach na

przykład w zakresie Mechaniki budowli A

tak samo w

odkształcająca w mechanice budowli czy

nie wiem mechanice Budowy Maszyn

z reguły Jak mówimy o liczbie pona i o

odkształcenia i o wzajemnych relacjach

między odkształceniami mówimy w takim

klasycznym przypadku na przykład o

rozciąganej próbce tak której mamy zaczy

taki Jasio byłby odlany ze stali i tutaj

działałaby

wertykalnie siła rozciągająca Jasia tak

I dzięki temu Jasio by zwiększył wymiar

pionowy a zmniejszył wymiar poziomy

także

wna luźna opowieść ale ta intuicja jest

fajna bo bardzo dobrze pokazuje nam

Dlaczego średni liniowe odkształcenie

względne nie mówi nam wystarczająco o

tym jakie są zmiany w

ciele pod kątem odkształceń i że

potrzebujemy troszeczkę bardziej

zaawansowanego aparatu matematycznego

niż taki prosty

iloraz wymy

przeze Zastanówmy się co się dzieje

jeżeli Jasi rośnie ale jednocześnie

przemieszcza się przypominam że

przemieszczenie to jest po prostu wektor

w przestrzeni dwuwymiarowej to jest

uporządkowana para liczb

wektor która łączy stare z nowym to jest

przemieszczenie

pamet jeżeli Jas idący morskie

rsy przemieścił się nie wiem w sumie

Powiedzmy że wartość tego wektora to

jest 4 km

tak gdzieś tam 1000 w pionie i 3000 w

poziomie tak mówię oczywiście zupełnie z

głowy to to nie ma żadnego znaczenia

jeżeli chodzi o

odkształcenie na odkształcenie Jasia ma

wpływ Uznajmy tak w tym myślowym

eksperymencie tylko to

Urósł w trakcie swojej wędrówki pomimo

że czubek głowy Jasia podniósł się o

1000 Met wynikających z tego że wchodzi

na rysy z Morskiego

Oka to Załóżmy że on urósł nie wiem

milimetr to czubek głowy Jasia się

przemieścił w pionie o 1000 Met plus 1

mm bo tyle Urósł w trakcie

wędrówki więc na wpływ na względ

wy ciała Jasia w pionie ma tylko i

wyłącznie tenim wynikający ze wzrostu i

to należy wziąć na do wzoru na

odkształcenie i to należy pamiętać

że

przemieszczenia nawet bardzo duże nieraz

o ile dotyczą wszystkich punktów danego

ciała nie są z reguły

zy groźne i stresujące dla projektanta

konstrukcji

to radykalna czy silna względna zmiana

wymiarów ciała lub jego

obszarów powinna być dla nas stresująca

jako projektantów na skutek odpowiedzi

mechanicznej na jakieś wymuszenie

obciążenie czy też

oddziaływanie także należy pamiętać tą

różnicę między odkształceniem które

dotyczy względnej zmiany wymiarów ciała

a przemieszczeniem które jest prostym

wektorem łączący

położenie starego punktu z

nowym No prosty przykład to most

nasuwany podłużnie Tak w tej

technologii potrafimy w ciągu kilku

godzin

przemieścić 25 mety segment mostu o

kolejne 25 Met nad Dolinę i to

przemieszczenie O ile dobrze

zrealizowane na budowie w ogóle nas nie

stresuje stresuje nas tylko względna

zmiana wymiarów pomiędzy poszczególnymi

punktami na przykład płyty Górnej

na SK odpwiedzi mechanicznej wywołanej

obciążeniami na przykład ciężaru

własnego podczas realizacji takiego

mostu jeżeli te względne zmiany wymiarów

będą

duże to jest przyczyna do stresu jeż one

będą nadmierne A nie to że cała

konstrukcja globalnie się przesunęła

[Muzyka]

mieli już od tej pory w głowie no dobrze

to znając tą wstępną intuicyjną część

naszych wywodów i tą różnicę pomiędzy

odkształceniem i przemieszczeniem i to

teraz udowodniliśmy sobie poniekąd że

żeby znać troszkę więcej mieć danych co

się dzieje wewnątrz ciała pod wpływem

danego oddziaływania jeżeli chodzi o

odkształcenia to nie wystarczy nam to

globalne

odkształcenie średnie dlatego przejdźmy

do trochę bardziej ogólnego przypadku

gdzie mamy jakąś bryłę

przestrzenną a ona jest oczywiście

podparta w taki sposób że jest

kinematycznie

niezmienna Czyli po prostu się nie rusza

i jest obciążona jakimiś obciążeniami

czy też oddziaływaniami

Przypominam że obciążenia raczej

intuicyjnie wiążemy z grawitacją a

oddziaływania mogą być wywołane różnymi

innymi czynnikami takimi jak na przykład

wiatr generalnie oddziaływania to

pojęcie

szersze No i wybierzmy sobie jakieś dwa

punkty w tym

ciele na razie w miarę dowolne

a za chwilę one takie całkiem dowolne

nie będą na potrzeby definicj

odkształcenia takie

liniowego względnego i teraz na skutek

tych sił i oddziaływań ta

bryła układ tej bryły do tej ta bryła

podlega pewnym deformacją tak i załóżmy

że na skutek oddziaływania tych sił ten

punkt AB te punkty AB one się odrobinę

przemieścił czyli punkt a przemieścił

się do punktu A prim

mean oddy i b przemieści do

b No i teraz wreszcie dochodzimy do już

formalnego wzoru na odkształcenie

liniowe względne i to jest po prostu

granica

ilorazu tak a Podziel długo odc

zmianie na skutek jakiegoś tam

wydarzenia minus długość odcinka

przed przez pierwotną długość odcinka no

i tutaj pojawia się haczyk że to jest

granica ilorazu gdzie AB musimy wybrać

bardzo blisko siebie czyli teraz już

odkształcenie na przykład mojej ręki to

nie jest odkształcenie gdzie analizuję

od łokcia do końca dłoni odkształcenie

średnie Tylko musiałbym markerem

narysować Dwie kropeczki bardzo bardzo

blisko siebie i analizować jak te

kropeczki względnie się od siebie

oddalają bądź przybliżają na skutek

jakiejś globalnej siły pionowej

rozciągającej na przykład moją rękę i

dzięki temu mając wiedzę o odkształcenia

w poszczególnych parach punktów w mojej

ręce A ściśle

będę wiedział dokładnie co się dzieje

jeżeli chodzi o odpowiedź mechaniczną

mojej ręki i dlatego ta wielkość

odkształcenie jest tak ważna i cenna bo

potem jak pewnie opowiem na innych

spotkaniach z

państwem możemy z tych odkształceń

przejść na naprężenie a naprężeń na

wytęż

zą już sobie troszeczkę mówiliśmy

No dobrze to jest

jeden jeden rodzaj odkształcenia więc

odkształcenie liniowe względne i ja mogę

troszkę wyczyścić też to nasze

przezrocze

i narysować troszeczkę inny dobór

punktów a więc wybiorę trzy punkty

o z0 i b czy O przepraszam a o i b które

tworzą kąt prosty i teraz troszeczkę

inaczej będę obserwował zachowanie tych

punktów a więc nie będę obserwował o ile

zmienia się odległość punktu

A do B czy o do b tylko jak zmienia się

kąt

AOB w stosunku do kąta a prim o prim b

prim który powstał na skutek t

wydarzenia czyli oddziaływania wiatru

czy nie wiem ktoś przyszedł i przycisnął

tą bryłę bardziej do ziemi Nie wiem

przyjechała koparka wysypała tutaj grunt

na tą bryłę cokolwiek się wydarzyło

także ten kąt z kąta pi2 czy też mówiąc

po ludzku z kąta 90 stopni czy też 100

gradów On się zmienił na troszeczkę inny

kąt i ta wielkość się pojawiła a więc

reprezentująca zmianę kąta pomiędzy

trzema punktami w ciele które też są

bardzo bardzo blisko co pokazuje ten

wzór mówimy o o tym o tej wielkości że

to jest tak zwany kąt odkształcenia

postaciowego i to jest druga bardzo

ważna

wielkość

która mówi nam bardzo wiele jest bardzo

cenna przy ocenie bezpieczeństwa

konstrukcji

czyli to jest drugi rodzaj

odkształcenia jakim dzisiaj Jaki dzisiaj

sobie poznaliśmy i oba te typy

odkształceń będziemy wykorzystywać w

dalszej części wywodu No dobrze ale

zanim pójdziemy sobie dalej chciałbym

żebyśmy jeszcze przypomnieli

sobie Co to znaczy słowo pochodna bo I

co to znaczy słowo różniczka bo te dwa

słowa nam się przydadzą A mam wrażenie

że

Iny przy znanym mi środowisku nie zawsze

wszystkie wszyscy te dwa pojęcia

rozumieją a one wcale nie są takie

groźne jak się

wydaje weźmy sobie przykład znaku

drogowego mamy drogę pod dużym

nachyleniem pod którą będziemy wjeżdżać

samochodem tak I weźmy że ta Droga

linią

woga wykonana podały nachyleniem żeby

sobie życie uprościć w tym tłumaczeniu

No i weźmy

że mamy te 10 No co to oznacza oznacza

to że każde 10 Met przejechane przeze

mnie w poziomie podniesie mój samochód

mój samochód o 1 Met czy jakbym jechał w

dół to obniżyły mnie o 1 Met No ale mogę

też na to spojrzeć trochę inaczej i mogę

powiedzieć że ta niweleta tej drogi to

jest

funkcja i tak się składa że ten funkcja

ma powiedzmy Załóżmy że to jest gdzieś

tam wysoko 400 Met nad poziomem morza

gdzieś tam powiedzmy

gdzieś tam gzie ta miejscowość jest

troszeczkę wyżej No to wzór tej funkcji

byłby taki 01x plus

400 No i zobaczcie że już tutaj samo 01

nam coś mówi bo iloraz tych dwóch liczb

to jest 0 i to się też zbiega z 10 proc

i tak się właśnie składa że jakbyśmy

policzyli pochodną z tej

funkcji czyli wzięli f x po DX to

Moglibyśmy wziąć pierwsze lepsze tablice

albo policzyć sobie to numerycznie czy

po prostu zapamiętać że pochodna ze

stałej to jest nic a pochodna z 01x to

jest ta stała czyli 01 więc pochodna z

tej funkcji po prostu 01 czyli 10 proc

Czyli co nam mówi

pochodna No pochodna w tym konkretnym

przypadku niezale

Jaki jest tak zwany z angielskiego SL

czyli jaki jest spadek funkcji a mówiąc

bardziej formalnie ona mówi Jaki jest w

przypadku funkcji jednej zmiennej

Tangens kąta nachylenia stycznej do

wykresu funkcji tak no tutaj wykres

funkcji jest liniowy więc stycz to też

Sang

też to do tego to tangens kąta tego Alfa

No to to jest 1 prz 10 czyli 10 proc

czyli pochodna to jest nic innego w tym

przypadku jak powiedzenie sobie No

jesteś na funkcji która jest nachylona

pod twoim kołem o 10 proc czyli należy

spodziewać się że podniesiesz się o metr

z każdymi 10 metr tak mniej więcej

należy interpretować w tym prostym

przypadku pochodną tak No to teraz weźmy

sobie krzywą liniową funkcję która nie

jest tak łatwa jak

prostoliniowa i teraz zastanówmy się jak

jest nachylenie tej funkcji No niestety

ono to nachylenie tej funkcji ono się

zmienia w zależności od punktu który

wybierzemy w przypadku samochodu

gdziekolwiek byśmy nie wybr tam wszędzie

pochodna będzie 0

Przepraszam a tutaj już tak nie

będzie dlatego weźmy sobie jakieś dwa

przykładowe punkty weźmy że to jest x0

to niech będzie jakiś tam x1 i tu X1 min

x0 to jest delta X czyli ta odległość no

I analogicznie na wartościach funkcji to

jest ta

odległość i teraz jeżeli bym policzył

Tangens kąta nachylenia tego kąta alfa

Nazwijmy to pseudo cięciwy to

No i to by była jakieś takie średnie

nachylenie tej

funkcji czy tam przybliżone nachylenie

może niekoniecznie średnie brane z tych

dwóch punktów teraz żeby zbliżyć się do

definicji pochodnej ja bym musiał ten

czerwony punkt

zbliżać tutaj do samego tego punktu

pierwotnego czyli zmniejszać to Delta x

do zera i rysować prostą przechodzącą

przez na przykład takie dwa

punkty które są ekstremalnie blisko

siebie tak ekstremalnie blisko siebie No

to taka prosta ona będzie o Praktycznie

taka

więc to wtedy jeżeli to Delta x

zmniejszymy do zera będzie styczną do

wykresu funkcji Ja ją może teraz

narysuję O tak wyglądała tak wygląda

żółta styczna i Alfa prim to jest ten

kąt który my tak naprawdę chcemy zbadać

bo to jest kąt nachylenia stycznej do

wykresu funkcji w danym punkcie w którym

liczymy sobie pochodną No i dzięki temu

możemy też wyświetlić wzór na pochodną

No pochodna to jest przyrost funkcji

przez przyrost X czyli przyrost funkcji

przez przyrost x ale wtedy kiedy ten

Delta x jest bardzo bardzo mały czyli

wręcz

Cami czyli zmierza do

zera a więc w tym przypadku ten ten

iloraz to byłoby to do tego lub dowolny

inny dowolna inna para oparta na tym

trójkącie na tym kącie Czyli po prostu

pochodna w takiej funkcji krzywoliniowej

mówi nam o ile podes fkc

styczna do wykresu funkcj wym punkcie

czyliż wyszło 10 to wiedzielibyśmy tylko

tyle że styczna się podniesie o tyle a

funkcja może podnieść się o troszeczkę

więcej za chwilę także To jest pochodna

No i z pochodną jest związana drugie

pojęcie więc narysujemy sobie jeszcze

raz funkcję

krzyw wem

I narysujemy do niego

styczną i tym razem operujemy nie na

skończonych wartościach które są nie

jakieś koniecznie bardzo małe Delta x

tylko weźmy DX A więc to jest wartość

bardzo niewielka zmiana x to powinno być

to DX wręcz powinno być narysowane o

tylko tutaj albo nawet jeszcze tylko

tutaj jakiś taki malutki przyrost na tym

przezrocz to może nie jest zrobione

najlepiej ale pamiętajmy że dx bardzo

niewielki

przyrost i co się okazuje że jak

narysujemy tą styczną narysujemy sobie

to bardzo małe DX to odcinek bc a więc

od poziomu do punktu przecięcia ze

styczną a więc ten odcinek bc to jest

tak zwane

d i co to jest to nasze d no właśnie d

to jest różniczka funkcji f Czyli jeżeli

ta żółta funkcja to jest funkcja f x to

dy to jest różniczka tej funkcji A co to

jest różniczka tu musimy zapamiętać że

różniczka to po prostu lwia część czy

główna część przyrostu funkcji jak ją

możemy policzyć No okazuje się że możemy

wykorzystać pochodną którą zdefiniowani

sobie tutaj i żeby policzyć lwią część

przyrostu funkcji to po prostu mnożymy

pochodną funkcji

razy ten nasz bardzo niewielki przyrost

DX i to jest odczarowane pojęcie

różniczki Dobrze no to teraz

ekstrapolując

żółtą niech to będzie Nie wiem

reprezentowało kawałek przekrycia

jakiejś opery

albo po prostu

reprezentowało jakieś zbocze

generalnie jest to funkcja dwóch

zmiennych tak tak jak nie wiem BMI jest

funkcją wzrostu i masy tak taka

powierzchnia może być funkcją x i y

niech to będzie pobocze góry jak wezmę

sobie x0 i y0 No to to wzgórze ma tutaj

400 m nad poziomem morza jak wezmę x nie

wiem strzelam tutaj nie wiem 100 m to

tutaj mam 380 m poziomem morza a y jest

0 jak wezmę x0 a y powiedzmy 100 m to

tutaj mam Nie wiem 395 Met nad poziomem

morza i tak dalej mogę tak brać różne

pary x y i tak próbkowa tą powierzchnię

i otrzymam taki

obraz jeżeli by to było oczywiście

zbocze górskie

generalnie tak się obrazuje za pomocą

właśnie

powierzchni funkcję dwóch zmiennych

jakś pun należący do te żółtej

powierzchni ja potem nazwę punktem m i

poprowadzę przez niego ścieżkę taką

która jeżeli bym przez tą ścieżkę

poprowadził powierzchnię to ta

powierzchnia byłaby równa równoległa do

płaszczyzny

xz tak ten to

jest x

już pewnie widzimy pewną analogię do

poprzednich wywodów

dwuwymiarowych wprowadzę jakieś

podstawowe oznaczenia zróbmy to samo dla

drugiego kierunku równoległego do osi

y No i jedyna różnica WZ

ZEM x

funkcja opada w dół a więc traci na

wartości i tak samo tutaj wraz z

przyrostem y funkcja nam opada w dół a

więc traci na

wartości dobrze No i teraz

C te żółtej funkcji względem X czyli

badamy jak agresywnie zmienia się

funkcja z jej wartości jeżeli zmienię o

trochę o troszeczkę x a Mówiąc ściśle

przy pochodnej o nieskończenie małą

zmianę x No i dokładnie tak jak mieli

państwo przy pochodne Funk zmii

Tangens kąta nachylenia tej

stycznej względem tego kąta

tutaj Dlaczego tu napisałem pi min Alfa

No bo to jest 180 min Alfa bo jeżeli tu

bym dał przedłużył tą zieloną kreskę

tutaj i tu bym narysował kąt alfa to tu

jest 180 min alfa a kąt tangens 180 min

Alfa to jest minus tangens alfa No i

dlaczego wychodzi nam ujemna ta pochodna

No dlatego że FK której wartości się

zmniejszają w tym kierunku wraz z

przyrostem x tak ta funkcja tu opada ale

to jest dokładnie to o czym mówiliśmy do

tej pory więc iloraz bardzo małego x do

bardzo małego y czyli Tangens kąta

nachylenia tego kąta tylko jeżeli byśmy

wzięli ten kąt tutaj to musielibyśmy

wziąć minus a więc prawie mamy to samo

co

poprzednio tylko

styczną która jest równoległa do osi x i

możemy zrobić to samo

ćwiczenie to samo ćwiczenie możemy

zrobić

dla pochodnej w drugim kierunku czyli w

tym w kierunku y tak samo pochodna w

kierunku y to jest tangens kąta

nachylenia

teistyczne Czyli jak Pod jakim kątem

upada ta funkcja w tym punkcie M

także to są bardzo podobne wielkości jak

w przypadku funkcji jednej zmiennej

tylko jeżeli liczymy pochodną względem y

To liczymy tą styczną a jeżeli względem

x to tą styczną No i tu też

możemy pokazać

różniczkę zaraz sobie to wyświetlimy O

tutaj tak samo jak poprzednio możemy

sobie napisać że to jest nze dx

czyli nasz bardzo mały ale już nie

nieskończenie mały przyrost funkcji

Przepraszam przyrost zmiennej x no i ta

lwia część zmiany funkcji f tej

powierzchni To jest nasza różniczka w

tym przypadku różniczka

częściowa funkcji dwóch zmiennych tak no

i to samo możemy napisać w drugą stronę

że tutaj będzie nasze

dy a będzie nasze dz Nazwijmy to dz nie

wiem 2 i to jest różniczka

częściowa tej funkcji dwóch zmiennych

ale w kierunku y czyli znowu lwia część

tego jak opada ta powierzchnia ale w tym

kierunku tu badamy jak agresywnie opada

ta powierzchnia w kierunku równoległym

do X

a tutaj badamy jak agresywnie opada ta

powierzchnia reprezentująca jakąś tam

funkcję

w kierunku równoległym do y także wiemy

już Co to są różniczki funkcji dwóch

zmiennych możemy jeszcze policzyć tak

zwaną różniczkę zupełną ale akurat w

naszych wywodach Nie będzie ona

potrzebna i wiemy co to są

pochodne pochodne cząstkowe funkcji

dwóch zmiennych No i widzimy teraz gołym

okiem że nie s to wcale pojęcia jakieś

takie skandalicznie trudne No dobrze

znając

już teraz pojęcie

odkształcenia wiedząc dlaczego to

odkształcenie jest takie ważne i że

odkształcenie liniowe względne średnie

nie mówi nam wystarczająco

dużo i znając już teraz też aparat

matematyczny i jego interpretację

geometryczną w postaci różniczki

różniczki dwóch zmiennych pochodnej

funkcji jednej zmiennej i pochodnej

funkcji dwóch

zmiennych możemy przejść do

bard ważnej części dzisiejszej rozmowy

to jest mianowicie

temat dotyczący tak zwanych związków

geometrycznych związki geometryczne

pozwalają nam na płynne przejście

od wiedzy o

przemieszczenia czyli tak tak naprawdę

wiedzy o wektorach na właśnie wiedzę o

tym jakie są zestawy odkształceń w ciele

co z kolei potem na podstawie związków

fizycznych pozwoli nam wyznaczyć

naprężenie a potem na podstawie wiedzy o

odpowiednich hipotezach

wytrzymałościowych wytężenie konstrukcji

także to jest

kluczowy kluczowy krok który Musimy

zrozumieć jak z przemieszczeń należy

przejść na odkształcenia bo z samych

przemieszczeń nie jesteśmy w stanie

wyciągnąć żadnej wiedzy Bez żadnych

przekształceń o tym czy zagrożona czy

dany element jeżeli chodzi o jego

nośność i To niezależnie czy to jest

rower samochód Czy

most No dobra mamy taki kwadrat bd FC On

jest w continuum 2D czyli zapominamy

mieli państwo o wymiarze od kamery i do

kamery wracamy na zupełnie

płaski na płaską przestrzeń Czyli

jesteśmy takim krasnoludki który żyje

tylko w dwóch wymiarach nie widzi

trzeciego

mamy nasz prostokąt i teraz Wyobraźcie

sobie że namalowałem sobie ten prostokąt

markerem tutaj na tej na mojej skórze

taki malutki prostokącik i pociągnąłem

tą skórę tutaj do góry albo o złamałem w

stawie nadgarstkowym swój nadgarstek nie

wiem po ataku skrótki w siatkówce czy

nie wiem czy się rusza w badmintonie

rakietą nadgarstkiem czy

nie Nie znam się w każdym razie napina

się ta skóra więc ten prostokąt się

przesuwa i

deformuje

No on się tutaj zdeformowały takiego

kwazi

deltoidu i tutaj Chciałbym uwypuklić

dwie rzeczy tutaj mamy Oś x i y że mamy

Będziemy operować dwoma funkcjami dwóch

zmiennych a więc będą nas interesowały

funkcje będzie nas interesowała funkcja

u to jest funkcja

która opowiada nam Jak zmieniają się

przemieszczenia

poziome w zależności od tego który punkt

tego prostokątu wybiorę Czyli jeżeli

wybiorę x rów 0 i y rów 0 to

przemieszczenie poziome to jest

stąd

tutaj dotąd To jest moje przemieszczenie

poziome może Nanieś sobie wymiary stąd

dotąd czyli funkcja u

wraca wartość przemieszczenia poziomego

jeżeli wybiorę stąd dotąd to jest ta

wielkość ta wielkość ta stąd dotąd i tę

wielkość stąd dotąd możemy o możemy udać

na chwilę

że nasza żółta powierzchnia to jest

funkcja u a więc dla x rów 0 y rów 0 to

przemieszczenie poziome

które Przepraszam które tu sobie

zaznaczał tu to stąd dotąd

Ja to chyba zaraz Oznaczę jako u tak u

to moje u tak to jest zbieżność nazw bo

tu jest u jako funkcja a tu jest u jako

wielkość ale proszę się tym nie

przejmować czyli moje u Nazwijmy to U1

tak że to jest ta wielkość stąd dotąd to

moje U1 mogę tu na tym wyk

odnieś w

pionie Pie Czyli

mam x rów 0 y rów 0 to przemieszczenie

poziome wyniosło u i tutaj na tym

wykresie To u jest

tutaj okej on jest tu tu jest wartość

U

Teraz biorę

powi d punkt d że na xie jest trochę

dokładniej mówiąc DX

tak a na Yu jest zer No to to

przemieszczenie wyniesie jakieś jakąś

inną wielkość i zobaczcie że jak wezmę

sobie punkt d Załóżmy że ten punkt d to

jest na xie jest trochę na y 0 Powiedzmy

że to jest to no to Zauważcie że ta

pionowa

linia reprezentująca powierzchnię

przemieszczeń poziomych

jest krótsza niż ta A więc co to oznacza

To oznacza że ten prostokąt się skurczył

Czyli on się przesunął ale też się

ścisnął na skutek oddziaływania jeżeli

ta powierzchnia byłaby taka że ona by tu

szła do góry ten płat to pręgą

kolejny punkt tego prostokąta i to samo

możemy robić analogicznie dla funkcji V

Co to jest funkcja V funkcja V mówi nam

jakie są wielkości przemieszczeń

pionowych w zależności od x y tak Czyli

biorę punkt x0

y0 i badam Jakie jest przemieszczenie

pionowe no Punkt B jest x0 y0 i

przemieści się wartoś V V1 żeby nie mieć

zbieżności nazw to jest V1 No to to V1

muszę odnieść w pionie ale już nie mogę

korzystać z tej samej funkcji bo to jest

funkcja przedstawiająca nam teraz w

naszym myślowym przykładzie Jak

zmieniają się przemieszczenia poziome

Potrzebuję jeszcze jednej funkcji

drugiej Jak zmieniają się

przemieszczenia pionowe w zależności od

x y i tu bym m chciał nanieść MJ V stąd

dotąd i wybierać kolejne pary x a y i

bym dostał drugi zestaw punktów a więc

drugą funkcję dwóch

zmiennych także w continuum 2D operujemy

dwoma funkcjami dwóch zmiennych

jedna która zależy obie zależą od x y

ale jedna opowiada nam Jaka jest

dynamika zmian przemieszczeń poziomych a

druga mówi nam Jaka jest dynamika zmian

przemieszczeń

pionowych i to wszystko jest zależne od

tego który punkt wybiorę A wybór każdego

punktu zależy od zarówno x jak i y

Zauważcie państwo że inny będzie

przemieszczenie poziome punktu

b a inne będzie przemieszczenie poziome

punktu C który ma taką samą zmienną x

tak ma taką samą współrzędną na wyjściu

x tak a mimo to

Iną zmienną y co dowodzi że funkcja u

nie zależy tylko od x ale zależy też od

y i dokładnie tak samo jest z funkcją v

a więc funkcją opowiadającą o tym Jaka

jest prognoza zmian czy Jaka jest jakie

jest pole zmian przemieszczeń pionowych

w tym

prostokącie to teraz wę

i teraz chciałbym żebyśmy zres

troszeczkę naszą głowę i zapomnieli o

tym że nasz prostokąt był taki wielki

jak ta powierzchnia udajmy na chwilę

teraz że nasz

prostokąt b

DFC to jest tylko ten

prostokąt toki

oszcz że NZ układ współrzędnych przesuwa

się do nowej lokacji czyli jest teraz

jest jest

nasz y a tu jest nasz x więc jedyne co

nas będzie interesować to ten skrawek

powierzchni tak dlaczego tak zredukował

nasze rozważania bo nasz Prostokąt ma

wymiary

DX a doch wymar dx

zą mocą że mamy dwie powierzchnie

reprezentujące przemieszczenia poziome i

przemieszczenia pionowe i obie są

funkcjami dwóch zmiennych No

dobra no to teraz weźmy

sobie Zastanówmy się jaka może być

wartość przemieszczenia poziomego punktu

d no punkt d

toie przemieszczen Punkt B

skoro b się przesuną to d też się

przesunie

ale jego przemieszczenie poziome tego

punktu D będzie wynikało też z tego jak

bardzo skurczył lub rozwar się nasz

prostokąt na skutek oddziaływania jakąś

siłą tak tak jak Jasiu nam Rus wchodząc

na Rysy tak ten prostokąt zii swoje

wymary względne cie przem

pośrednio po nim Czy przed nim w każdym

razie Nastąpiła zmiana względnych

wymiarów i to należy uchwycić więc nie

wystarczy nam u ale dojdzie nam tutaj

jeszcze coś No i co to jest to

coś No mieli państwo to żeby sobie

wyjaśnić skąd to powstało to jest nasze

u powiedzmy 1 to to jest U1 i tutaj to

coś reprezentuje właśnie tą względną

zmianę wymiaru

tego prostokąta w kierunku poziomym a

jak ją wychwycić matematycznie No Mii

państwo ją

[Muzyka]

wychwytująca przemieszczenia poziome w

tym kierunku czyli w kierunku x bo

rozpatrujemy

teraz kierunek x tak mamy

przyrost współrzędne

DX a zerowy przyrost y tak bo

przemieszczamy się od punktu b do d

dlatego patrzymy na przyrost

x i o ile zmieniła się funkcja No i jak

już powiedzieliśmy

lwią częścią zmiany funkcji jest

różniczka w tym przypadku różniczka

częściowa funkcji dwóch zmiennych a przy

małych odkształcenia a odzenia któ

mmy na początku rozmowy że mierzymy w

mik mikr nieraz w zupełności wystarczy

jeżeli sobie wykonamy aproksymację

że

zmiana tej

funkcji to właśnie jest tylko różniczka

czyli weźmiemy tylko i wyłącznie pod

uwagę tą lwią część ziy funkcji będzie

wystarcz

założeniach dlatego

mamy wartość U1 czyli przemieszczenia

punktu b plus wartość reprezentującą o

ile zmienił się względny wymiar poziomy

odcinka bd a więc Jaka była lwia część

zmiany funkcji reprezentującej

przemieszczenia poziome w kierunku x No

dobra zrozumieliśmy

Skąd Z czego wynika ten wzór tak Czyli

mamy przyrost U1 plus to co wynika z

różniczki częściowej funkcji u względem

zmiennej x No to teraz zastanówmy się

jak zmienia się kierunek

pionowy weźmy punkt B na punkt B w

pionie przemieścił się do b prim o

wartość

v11 żeby Nieć koliz zaczem gzie to fkc

anal punktu ckt C przemieści się o tyle

co b tak No bo cały prostokąt się

przemieścił mniej więcej w to miejsce

ale należy jeszcze uwzględnić to jak

zdeformowały miary względne mógł się

skurczyć lub przyr No i znowu

ten ten względny

pochodną cząstkową funkcji V razy Ten

niewielki przyrost

d a więc w tym przypadku jeżeli byśmy

mieli to sobie zobrazować To

musielibyśmy zapomnieć o tej żółtej

funkcji bo nie ona nas w tej chwili

tutaj interesuje tylko wyświetlić sobie

tę powierzchnię i analizować Jaki był

upad tej

powierchni kierunku osi y czyli jaki

byłby upad tej czerwonej

powierzchni w kierunku osi y tak no i to

znowu by

reprezentowała

pochodna czyli kąt nachylenia stycznej

tej czerwonej

funkcji względem punktu m Zakładając

jakś taki szczęśliwy zbieg okoliczności

że punk byłby przynależny do obu tych

funkcji zarówno v i

u liczony po prostu względem osi osi y

tak Czyli Byłaby to byłoby to nic innego

jak różniczka częściowa funkcji dwóch

zmiennych V liczona w kierunku osi y no

I analogicznie można postępować z

kolejnymi wymiarami weźmy sobie na

przykład ten no ten wymiar pyta

przemieści się

punkt d w pionie tak Czyli biorąc naszą

funkcję tutaj ja może wyłączę tą

powierzchnię drugą

dotyczącą Przepraszam ja muszę właśnie

zostawić bo analizujemy przemieszczenia

pionowe a więc

nasz dotyczyłoby to tej różniczki tak

Czyli

cerwone powierzchni w kierunku x tak no

i została nam chyba jeszcze jedna

wielkość a więc ta ta wielkość No to ta

wielkość to jest jaki byłby przyrost

przemieszczenia poziomego punktu

C tak no punkt C przen się o tyle co b

ale jeszcze musimy wziąć pod uwagę

właśnie tego że ten punkt C może się

znaleźć troszeczkę dalej lub troszeczkę

bliżej w zależności od tego co by się tu

dokładnie działa z deformacjami No i to

troszeczkę dalej troszeczkę bliżej czyli

ta wielkość reprezentowana jest przez

różniczkę funkcji u czyli funkcji

przemieszczeń

poziomych liczonej względem os y

Dlaczego względem os y bo badamy co się

dzieje w punkcie C który jest większy od

punktu b właśnie względem osi y Tak oba

te punkty mają tą samą współrzędną x

mają tylko inną współrzędną y punkt c ma

większą współrzędną y dlatego w tym

kierunku musimy liczyć naszą różniczkę

częściową funkcji dwóch zmiennych No

więc to by była wracając do naszego

wykresu teraz mogę schować moją

powierzchnię czerwoną No i to by była

nasza funkcja

i liczymy Du po

D czyli liczymy

sobie właśnie tę

różniczkę w tym przypadku tak C tutaj

jest nasz punkt

B tutaj jest nasz

punkt C tak i liczymy

Wła tyko Global przemieszcz że ten

prostokąt się przemieścił o ileś tak ale

również fakt że ta powierzchnia jest

krzywoliniowa jest nachylona i z tym

prostokątem również coś się dzieje

jeżeli chodzi o deformacje

względne No i dzięki temu możemy już

osiągnąć obraz pełnego zestawu

wymiarów naszego szkicu No dobrze no to

teraz zacznijmy

sobie opowiadać troszeczkę o zależności

odkształcenie przemieszczenie No i

zauważmy że będziemy korzystać w

zasadzie z tych samych wzorów których

które mieliśmy na samym początku

dotyczące Jasia który miał nowy wzrost

minus stary wzrost przez stary wzrost

Tak dokładnie to samo będziemy robić z

tą jedną różnicą że analizujemy bardzo

mały prostokącik tak a wię

analizujemy

bardzo niewielką zmianę bardzo niewielki

obszar danego ciała w przeciwieństwie

przy jak przy

odkształceniu względnym liniowym

średnim bardzo relatywnie bardzo duże

odległości między punktami

No Zobaczmy co to jest b prim d prim b

prim d prim to jest To jest ten dystans

tak w uproszczeniu określę go jako

horyzontalny No to żeby go policzyć to

muszę wziąć współrzędne punktu d prim No

to współrzędna punktu d prim to jest DX

+ u + Du po DX

DX tak to jest ta ta

moja współrzędna punktu d no i żeby

policzyć WSP długość odcinka bd

potrzebuj współrzędną b prim no b prim

To jest moje u tak czy tak jak się

omawialiśmy to powinno być U1 i też

powinno być U1 ale Jak państwo widzicie

czy to jest u czy to jest U1 to tam się

to

skróci No i od tego odejmuje Odcinek bd

współrzędna d ma po prostu wartość

DX tak a współrzędna b to 0 No i to

dzielę przez znowu Odcinek

BD A więc

[Muzyka]

DX min 0 No i zostaje mi Du po DX DX

przez DX tak No więc to małe ale nie

nieskończenie małe DX mogę skrócić No i

Mii państwo doszliśmy do pierwszego

związku geometrycznego a więc mówimy że

odkształcenie liniowe względne X w takim

kum dwuwymiarowym

To jest pochodna cząstkowa funkcji u po

zmiennej x gdzie przypomnę funkcja u to

jest funkcja dwóch zmiennych

reprezentująca obraz przemieszczeń

poziomych tego

ciała No dobra no to Zastanówmy się

jeszcze nad

drugą cechą odkształcenia czy

drugą wartością jakie nam opowiada

odkształceniu odkształcenia postaciowy a

więc faktem że ten prostokąt stał się

takim kwazi

deltoidem No żeby opowiedzieć sobie o

kącie odkształcenia postaciowego o

którym już

mówiłem tutaj w tym przypadku No to

trzeba

znaleźć alfa i beta żeby wyznaczyć to o

ile zmienił się ten kąt na początku

prosty i zmienił się w taki jakiś kąt

ostry w tym konkretnym przypadku

oczywiście może to być też kąt kąt

rozwarty w wielu przypadkach tak jak

tutaj choćby No to tangens alfa No co to

jest tangens alfa No tangens

alfa to jest iloraz przyprostokątnych

tak no w przypadku Alfa to

będzie to będzie ten trójkąt tak ten

trójkąt ja może włączę sobie tutaj

o możliwość rysowania

ten

trójkąt A więc to jest ta wielkość do

tej okej ta wielkość do tej ta do tej No

to to

jest współrzędna pionowa punktu D

współrzędna pionowa punktu D to jest to

Jak państwo widzicie to tu przeniosłem

to jest

vvx DX od współrzędna pionowa punktu b

prim na współrzędna pionowa punktu b

prim to jest v czy tam V1 niezależnie

czy to jest V1 czy V nam się to znowu

skróci No i to dzielę przez to co mam tu

a to jest współrzędna pozioma d prim

minus współrzędna pozioma b prim No to

to już było

definiowane tutaj przy odkształceniu

liniowym

względnym i jest dokładnie to samo ten

nawi

dokładnie to co się dzieje tu w

mianowniku tak no i po przekształceniach

bardzo prostych czyli skróceniu V1 V1 u

i u dostaję to potem mogę DX skrócić tak

bo tu wyciągnę przed nawias dostaję coś

takiego że to jest DV po DX przez 1 + Du

po DX No i teraz wykorzystam nasze

założenia

że ta wielkość

DX to będzie wielkość bardzo bardzo mała

w porównaniu do jedyn tak bardzo bardzo

mała w porównaniu do jy w związku z

tym w dobrym przybliżeniu przy tych

założeniach mogę powiedzieć że tangens

alfa to jest tylko licznik No bo to jest

licznik przez 1 plus coś bardzo małego a

więc licznik przez 1 czyli DV po DX No

Izę wyprowadzać

tangens

beta No tangens beta to będzie po prostu

DV po DX No i jak narysujemy sobie

jeszcze

szybko

wzór wykres funkcji tangens tak narysuję

tak bardzo brzydko teraz ręcznie

to funkcja tangens tu w obszarze w

okolicach

zera bardzo przypomina Funkcję liniową y

x

tangens małego Alfa to jest alfa i

tangens małego beta to jest Beta a

Przypominam że założenie jest takie że

mamy małe te deformacje a więc alfa i

beta są małe więc nie tylko tangens alfa

to jest DV po DX ale też Alfa to jest DV

po DX No i tak samo nie tylko tangens

beta to

jest du d ale tangens beta to

jest beta to jest Du po dy wcześniej

chyba z rozpędu powiedziałem że tangens

beta to jest DV po DX nie DV po DX to

jest tangens alfa zgodnie z

wyprowadzeniami No a drugim składnikiem

tej sumy

jest Du po

dy No i dzięki temu

możemy wyprowadzić

drugą drugą ważną wartość czyli tak

zwane ep12 czyli to jest połowa czy śred

ta wielkość jest bardzo również ważna w

aspekcie późniejszych

obliczeń no I analogicznie jak tutaj dla

epon XX możemy obliczyć odkształcenie w

drugim kierunku wyjdzie nam że to jest

DV po

d a więc pochodna cząstkowa powierzchni

czy funkcji

V y

państwo są wszystkie zależności

geometryczne jakie

nam jakie mieliśmy sobie dzisiaj

wyprowadzić więc widzimy tak naprawdę że

odkształcenia to jest nic innego jak

pochodne cząstkowe funkcji przemieszczeń

tak lub odpowiednie

sumy pochodnych cząstkowych funkcji

przemieszczeń No a Przypominam że

pochodne cząstkowe w danym punkcie

względem

zmiennej to jest nic innego jak kąt

nachylenia Mówiąc ściśle Tangens kąta

nachylenia stycznej tej powierzchni w

danym

kierunku na koniec Chciałbym uwypuklić

że odkształcenie to też jest wielkość

tensorowa podobnie jak naprężenie tak

Czyli możemy ją zapisać w

formie

maer gę posz

w

przypadku 2D to będą tylko TR różne

składniki c1 i 22 tutaj będzie na

głównej przekątnej a tutaj będzie epon

12 i

ep12 na tej drugiej przekątnej No i co

to znaczy że to jest wielkość tensorowa

no przypomnę że tensor zer rzędu to jest

Skalar na w trzech wymiarach to jest

Skalar No bo 3 do zerowe to jest 1 tak

prędkość w trzech wymiarach to jest

wektor który ma trzy składowe jakbyśmy

chcieli opisać nie wiem narciarza

zjeżdżającego ze stoku że ma jakąś

prędkość No to potrzebowalibyśmy do tego

trzech liczb No ale jakbyśmy już chcieli

na przykład opisać prędkość

łyżwiarza który gra w hokeja

hokeisty No to wrzucie z góry tak który

się porusza o tak naprawdę wrzucie z

góry po powierzchni

dwuwymiarowej No to prędkość to byłby

wektor w przestrzeni dwuwymiarowej A

więc to by była 2 do pierwszej a więc 2

no I analogicznie mamy tutaj tutaj mamy

przestrzeń dwuwymiarową tu się wszystko

dzieje bez tego wymiaru od kamery i do

kamery a więc mamy tensor drugiego rzędu

jakim jest

odkształcenie a więc mamy 2 do dr a więc

C liczby No a niezależne tak jak

powiedziałem tutaj będzie

ep1 2 a tu będzie EP 21 i można ze

zasady wzajemności uzasadnić czy

wyprowadzić czy udowodnić że te dwie

wielkości są takie same więc ta macierz

jest symetryczna No i zapytacie mnie

państwo po co to wszystko po co ten po

co te wielkości i związki geometryczne

nam w ogóle są potrzebne No one są

potrzebne nam po to żeby oswobodzić

z tej wiedzy o przemieszczenia w ciele

oswobodzić się z tych wszystkich

niepotrzebnych danych które nie mają

żadnego wpływu na to czy konstrukcja

jest zagrożona czy nie i przejść właśnie

z wektorów przemieszczeń na

odkształcenia które już

bezpośrednio nam mówią czy pozwalają nam

bezpośrednio przejść za pomocą związków

fizycznych na analizę zagrożeń

konstrukcji po to są te związki

geometryczne i po to o nich dzisiaj

opowiadałem bardzo Państwu dziękuję

[Muzyka]