这是数学界最危险的课题

前人会告诫年轻的数学家 别把光阴浪费于此

这个猜想的描述十分简单

却连世界上最聪明的数学家也无法证明

著名数学家Paul Erdős曾说过

当今的数学还没有成熟到能解决这种问题

这个猜想是这样的

选个数字 随便选哪个

7？

好的

我们有两条规则

如果这是个奇数 把它乘3加1

所以7乘3得21 加1得22

如果是个偶数 那就把它除以2

那么22除以2就得到了11

不断重复这两条规则

11是奇数 ×3得33 +1得34

这是偶数 ÷2得17 是奇数

×3是51 +1得52 是偶数

÷2得26 还是偶数

÷2得13 是奇数

于是我们×3得39 再+1得40

这是偶数 于是÷2得20

再÷2得10 再÷2得5 奇数

×3为15 再+1得到16

÷2得到8 一直下去是4, 2, 1

现在 1是奇数 所以我们把它×3+1得到4

但4会变为2再变回1

最后就在绕圈子了 最小的数是1

这个猜想是

对于任意正整数 如果不断重复这两条规则

最终都会进入 4-2-1 的循环

这个猜想常被称为「考拉兹猜想」 得名于德国数学家卢瑟·考拉兹

提出时间大约是20世纪30年代

但这个猜想还被许多人分别独立地发现 因而得名颇多

它也被称为

乌拉姆猜想

角谷猜想

思韦茨猜想

哈塞猜想

叙拉古猜想

或者干脆叫3N+1猜想

3x+1问题为何如此著名

它在职业数学家当中的确很知名——但是知的是恶名

大家公认 如果谁公开说自己在证明这个猜想

那他肯定有猫病

通过3x+1过程得到的数被称为冰雹数

因为它们上上下下 好像雷雨云里的冰雹

但是它们最终统统都会落到1

至少我们现在猜测是这样

你可以把这些数当成海拔高度

那么26这个数就表示海拔26米

让它跑一遍3x+1 它最高会升到40米

总共十步过后 它降到1米

因此 我们称它的停止用时为10

而挨着26的数27

则一路上窜下跳

它在落到底之前 最高冲到了9232米

把它当作高度的话 这比珠穆朗玛峰还高

27这个数总共要111步才能掉到1

然后进入 4-2-1 的循环

即使是离得这么近的数

它们的路径也相差甚远

所以 这问题有什么突破口吗

说实在的 连数学家也难搞

有些人说

这是苏联人发明的阴谋 用来阻碍美国的科学发展

而且这“阴谋”真的做到了

大把人都在掰着手指头研究这问题

但在这个简单到小学生都听得懂的问题上 他们毫无进展

在世界范围内 Jeffrey Lagarias是研究3x+1问题的权威

我读大四的时候第一次在大学里遇到他

他把我拉到一边 他说

快跑 别折腾这玩意

如果你不想被同行鄙视 不想丢饭碗

就别在这玩意上面浪费时间来写论文 发论文

花点时间去研究真正的数学 来打好你的基础

Alex Kontorovich 并不听话

他和 Yakov Sinai 观察了这些冰雹数的走势

看看有没有什么规律

显然这些数最后都变成了1

那么 变到1所走的路径呢

这些随机事件背后有整体性规律

我们任意选一个超大的数 图里展示了它的变化过程

图像先冲到一个高峰 再掉得超低

低到在这个比例下根本看不出走势

但是如果用对数比例

你会看到这个一路蠕动下降的图

就像你血本无归的基金

而且这不是巧合

二者都是几何布朗运动的例子

意思是说 如果把它取对数之后放平 这些波动就是随机的了

就像是每一步都抛硬币

正面的话折线往上走

反面就往下走

3x+1就好像是股市的波动

只要时间足够长 （美国）股市趋向于上涨

而3x+1趋向于下降

另一种分析3x+1的方式

是研究3x+1数列里各项的首位

这里我们选取3作为初值 看看它的冰雹数列

然后统计有几个数的首位是1

几个数的首位是2

几个数的首位是3 以此类推 做出直方图

同样的 我们看始于4的数列 这就挺短的了

接着看始于5的…

接着看始于5的… 6的…

接着看始于5的… 6的… 7的

对于各个冰雹数列

按照首位是1-9来分别清点

然后加到直方图里

只要统计的数越来越多

直方图最终会趋向于稳定的比例

对于前十亿项

你会发现1是最常作为首位的数码

30%的数以1打头

17.5%以2打头 12%以3打头

随着首位递增 其出现频率会递减

以9打头的数只占了不到5%

这个规律并非是3x+1独有的

它其实会出现在许多领域

从国家人口数

从国家人口数

到公司价值

物理常数

乃至斐波那契数 不胜枚举

这个分布被称为「本福特定律」

它甚至能检测财务欺诈

如果你在税务申报表上的所有数值都符合这个定律

那你应该是诚实的

没有的话 你是不是想搞事情

在选举中 本福特定律也能用来发现异常

当然你得用对

这一定律最适合用于 数据范围跨越好几个数量级的情况

就如3x+1一样

不过它并不能告诉我们

是不是所有数字都会落入4-2-1循环

为此 我们需要用其他方法来分析

乍一看 任意数字代进3x+1最终都得到1是蛮奇怪的

我的意思是 考虑到奇数和偶数是一样多的

但奇数会变成三倍以上

而偶数只减少了一半

因此 平均来看 数列应该会趋向上升而非下降

但这就是问题所在

每当一个奇数×3+1

它一定会变成偶数

也就是说 下一步它就会÷2

所以奇数实际上不会因为3x+1变成原来的三倍

它们会增长到原来的3/2

+1可以忽略

因为它对于大数是微不足道的

而且 3/2 倍是奇数在一步之内能增长的最大值

考虑3x+1数列中 由所有奇数组成的变化路径

奇数在×3+1之后 你就得到了偶数

有50%的可能 ÷2就能变回奇数

但还有1/4的可能 要÷4才会变回奇数

这种情况下 下面的红圈里的数会是上面的3/4

有1/8的可能 要÷8才会得到下一个奇数

有1/16的可能 要÷16才行 以此类推

算算几何平均数 可以发现

序列里的后一个奇数平均是前一个奇数的3/4倍 也就是平均会变小

所以从统计学上讲 3x+1数列更倾向于收缩 而非增长

用341做例子

×3+1得到1024

你可以把它÷2

再÷2 再÷2 ÷2 ÷2…

10步后会到达1

有种方法能形象地描述3x+1数列的路径

就是把序列中每个相邻的数画条边连接

这就是所谓的「有向图」

它看起来像一棵树 或者是一大片逐渐汇聚的溪流

如果这个猜想成立 那就意味着所有的正整数都会连在这个图里

每条从1一直上溯至无穷的小溪流

最终都会汇入 4-2-1 的洪流

有些数学家换了种方法来描绘—把图里的每个数字转个角度

如果是奇数 就逆时针转

是偶数 就顺时针转

最后你会得到一个看起来像珊瑚或者海草的结构

通过改变奇数和偶数旋转的角度

你可以创造出这些美丽的有机形状

要想推翻这个猜想 有两种方式

可能有某个数的3x+1数列会一直增长到无穷

它出于某种原因 不会跟其他数一样落到1

另一种可能是 存在一批会形成闭环的数

这个环中的所有数字跟主图不联通

但是目前为止 暂时没人找到有环或者能增长到无穷大的数列

数学家们可不是没试过 他们已经穷举了

2的68次方以内的所有数

这是2垓9514京7905兆1793亿5282万5856个数

我们能确定 这里面的任何一个数 最后都会落到1

我们测试了接近3万亿亿个数

没有一个反例

事实上 依靠这些信息

数学家得出 如果存在4-2-1以外的循环

其至少应包含1860亿个数

所以 看起来这个猜想很像是成立的

但这并不能证明它

数学家尝试证明它的一种方法

是绘制散点图

数列首项在X轴上

数列中产生的数在Y轴上

现在 如果能证明每个3x+1数列中

都存在某项小于数列首项

那就能证明考拉兹猜想

因为无论你选择什么数

你都知道它的数列中会有某项更小的

而这个更小的项能继续变得更小

以此类推直至落到 1

意味着所有数列都会以 4-2-1 循环结尾

这还没有被证明

但在1976年 Riho Terras证明了

「几乎所有」考拉兹数列都存在小于其初值的数

1979年 上界缩小至「几乎所有」x 的数列都有数小于 x 的0.869次方

1994年 上界进一步缩小至 x 的0.7925次方

In this case, the term almost all numbers has a teChineseical mathematical definition.

术语「几乎所有数」 是数学专门的定义

它的意思是 只要你要研究的数会一直趋向到无穷

其比例会渐近趋向于1

2019年

目前在世的最伟大的数学家之一

目前在世的最伟大的数学家之一

陶哲轩

证明了3x+1数列还可以满足更严格的条件

他证明了 几乎所有数列的归宿 都会小于任意函数f(x)

他证明了 几乎所有数列的归宿 都会小于任意函数f(x)

只要当x增长到无穷时 函数会随着增长到无穷

但这个函数的增长速度可以任意慢

这个函数可以是 log x 也可以是 log log log x

或是 log log log log x

这个结果的含义是 对几乎所有数 你都可以保证

其数列中有一个比它任意小的数

2020年 陶哲轩在一次公开演讲中说

这个结果距离解答考拉兹猜想只差最后的关键一步了

这是个令人赞叹的结果 但依然不是证明

所以我们为什么证明不了猜想成立呢

有没有可能因为这是个假命题

我的意思是 每个人都在试图证真

换言之 几乎没有人在找反例

我两年前就碰到过

那时我正在我证明一个 我尝试了三年的课题

但我就是没法证明其正确性

结果我找到了个反例

然后我意识到了正确的命题应该是怎样的

一个月后 我证明了那个正确的命题

或许我们研究这些问题时 应该把更多精力放在寻找反例上

还记得27是如何增长到9232的吗

这个散点图包含了一万以下的所有初值

并在Y方向上标出了其3x+1数列中的最大值

Y轴只标记到了十万

图中并没有将所有的最值都囊括在内

比如说 初值为9663时 其最值会攀升至2700万

目前为止 没有人证明 为什么没有哪个初值会发散

只要有一个反例 就能证伪这个猜想

或者存在某些数会形成与主图不相连的循环

尽管我们现在只知道一个循环：4-2-1

不过 如果把负数也考虑在内的话 结果就比较诡异了

如果沿用相同的3x+1规则

这里不只会形成一个循环、两个循环

而是有三个相互独立的数字循环

它们开始于绝对值较小的数字 比如 -17 和 -5

为什么负数有不互连的循环

而正数却没有呢

现在 支持这个猜想的最有说服力的证据之一是

陶哲轩证明了 几乎所有的数字

在它们的序列中都存在一个任意小的数字

但是证明「几乎所有」数字都遵从这个规则

并不等于证明「所有」数字都这样

在 1-100 中有多少的数字是完全平方数

答案是 10 个

所以说 1-100 中有 10% 的数是完全平方数

在1-1000中有多少的数字是完全平方数

答案是 31 个

所以 1-1000 只有 3.1% 的数是完全平方数

数字的上限越高，百分数越小

像这样不断提高上限，你可以说

几乎所有的数都不是完全平方数

当 x 趋于无限大时 非完全平方数所占的比例会趋于 1

然而我们知道完全平方数有无穷多个

而且我们也确切知道每一个都在哪

目前我们已经暴力测试了所有 2 的 68 次方以下的所有数字

并且所有数都符合考拉兹猜想

你可能会想 如果有反例的话 到了这么大的范围总该找到了

但在所有数字的体量面前 2的68次方啥都不是

1919年 George Pólya 提出了波利亚猜想 他断言

给定任意上限 在小于上限的所有自然数中

包含奇数个质因数的占大多数

最终在1958年 被 C. Brian Haselgrove 证伪

他证明了存在反例

值得注意的是 这个反例的值为 1.845×10^361

这比所有用来验证3x+1的数还要大10的340次方倍

看待3x+1的一种方式

是把它当作一个在图灵机上运行的简单程序

种子数字输入到机器中

所以在这张图中，2 的 68 次方简化为 68 格长的输入磁带

你可以把它们看成一串 0 和 1 或者黑白块

仅凭这个机器已经把所有输入

68 格之内的数都转化成 1

应该不会让你有很大信心觉得所有的输入都是这样

事实上，以任何你喜欢的方式计算数字是很简单的

只要它长度有限

但假如你想要一个数以 1.5 倍翻番

翻了五次，这是可以计算的

假如你想要一个数以 1.5 倍翻番

翻了十次或者

一百次或一千次

你都能很简单地去计算这些数

但除了你指定的有限部分

就很难继续控制了

而目前测试过的每一个数 总是会回到 1

如果真的有一个反例 那几乎没人能猜到

而且所有可能性的空间实在太大 无法用蛮力来穷举

2 的 1000 次方可没法穷举

所以 要想找到它 我们必须得想点聪明招解决

而不是挨个猜测检验

我在 3x+1 的研究团队已经待了 20 年了

然后就是这个观点

我意识到，到底什么是我们真明白的

我们无法证明一个伪定理，对吧

所有人绞尽脑汁都没法证明 有没有可能因为它其实是假命题？

2 的 60 次方也算不上是多庞大的证据

即使是统计学上的说法可能是正确的

但也证明不了 在3x+1序列中一定不存在什么分叉路径

当然还有另一种可能 那就是我们永远无法知道其真伪

这问题是不可判定的

1987年 约翰·康威创造了3n+1的推广理论

这是一台他称之为 FRACTRAN 的数学机器

他能证明 这台机器是图灵完备的

这意味着它可以做任何现代计算机能做的事

但这也意味着它受制于停机问题

机器可能永远不会停止运行 所以不会给出输出

但这并不能证明3n+1问题也是停机问题

但据我们所知 不排除有这种可能

我们永远也无法证明考拉兹猜想的真假

学校可能告诉你我们已经懂很多了

这是谎言 这都是谎言

看这个愚蠢的小问题

我们真的解决不了？真的？

这只能说明数学有多困难

非要说它有何意义的话 它表明

我们能解决的所有问题都是奇迹

我们人类无权给出其他所有问题的解法

在我的一生中 我一直认为数字是非常有规律的东西

充满模式、对称性和重复性

但是我现在才意识到 数字到底有多奇特

这一点在珊瑚图中体现得再清楚不过了

从一个简单的数学运算中

产生了一些复杂的、有机的、我们至今都难以驾驭的东西

是否所有的数字都与这个结构相连？

还是有什么独特的细丝 细长的细线

与主图完全没有相连之处 一直遁入无穷尽？

为什么这么难证明呢

我想这就是为什么 Paul Erdős 说

「当今的数学还没有成熟到能解决这种问题」