tak dzisiaj chciałem żebyśmy się

zastanowili nad tym co to jest

naprężenie jak interpretować to słowo

jak je definiować bo mam wrażenie że nie

zawsze inżynierowie czują do końca to

pojęcie po co ono w ogóle jest w

inżynierii on się tak komplikuje razem

z poziomem uogólnienia problemu to jest

nasz cel na dzisiaj zacznę od takiej

prostej bryły takiej elipsoidy obrotowej

No właśnie czy ona jest taka prosta to

to się za niedługo przekonamy C czy to

faktycznie jest tak prosto ale ja ją tu

podparł trzema więziami trzema podporami

tak żeby ona była kinematycznie zmienna

Czyli po prostu się nie

ruszała na tych podporach nie była

mechanizmem tak jak czasami mówimy No i

obciąż przychodzi na tą bryłę jakieś

obciążenie w postaci nie wiem wiatru

jakiś wymuszeń

obciążeniem ciężarem własnym czy jakimś

obciążeniem technologicznym tak no i coś

w tej bryle się zaczyna

dziać dochodzi do przemieszczeń wewnątrz

tej

a więc możemy mówić że ta

bryła odpowiada

mechanicznie na to co się dzieje jeżeli

chodzi o oddziaływanie to oddziaływanie

nie musi być zewnętrzne tak to może być

na przykład oddziaływanie w postaci

rozgrzania się bryły z uwagi na

charakterystykę materiału z którego jest

wykonana chodzi o to że mamy zawsze

jakieś

oddziaływanie i odpowiedź mechaniczną

danej konstrukcji czy też właśnie w tym

przypadku Ogólnie powiem bryły I co to

jest to nasze

naprężenie No jeżeli bym udał na chwilę

że ta Bryła składa się z bardzo dużej

liczby w przypadku skrajnym z

nieskończonej liczby malutkich

krasnoludków to mówiąc tak bardzo

kolokwialnie naprężenie mówi nam jakie

jest samopoczucie tego

krasnoludka czy on zaraz powie ojej No

to już praktycznie nie daje rady bo tu

mnie tutaj mnie rozciąga tu mnie ściska

tu mnie ścina już już nie daje rady jego

sąsiedzi też mówią nie a ci mówią tutaj

co mieszkają a tutaj jest luźno a tutaj

jest okej a tu jest fatalnie tutaj się

źle czuje a tu jest dobrze mniej więcej

to jest naprężenie naprężenie to jest po

prostu samopoczucie krasnoludków

mieszkających w

tych konstrukcjach

tak to jest tak bardzo

luźna Interpretacja tego co to

jest naprężenie zakładając Oczywiście że

tych

krosnolen wiele No dobrze skoro znamy

już taką luźną bardzo nie Akademią czy

nie inżynierską Nawet

interpretację Co to jest naprężenie tak

Czyli wiemy że naprężenie to jest jakby

reakcja tego co się dzieje we flakach

konstrukcji wewnątrz konstrukcji

Jak działają oddziaływania i różne

naprężenie będzie W każdym punkcie tej

konstrukcji w zależności od tego jaki

jest układ obciążeń i podparć tejże

konstrukcji No i oczywiście z czego ona

jest wykonana czyli tak z grubsza możemy

to interpretować dobra no to teraz

przejdźmy do super prostego to jest to

był bardzo ogólny przypadek to teraz

przyjdźmy do bardzo szczególnego

przypadku w którym mamy prę przypomnę

prę to jest bryła ale taka specyficzna

bryła która ma dominujący jeden

kierunek jeżeli chodzi o

wymiar może to być często w metodzie

elementów skończonych pręty

reprezentujemy

jednowymiarowym elementami w

których Pozostałe parametry takie jak

wysokość przekroju czy też powierzchni

momenty bezwładności są przechowywane

wyłącznie jako

No i mamy taki

pręt podczepiony do jakiegoś stropu no i

pod wieszamy pod niego ciężar ten ciężar

w postaci jakiś tam odważników wywołuje

rozciąganie osiowe tego pręta tak No

chyba to wszyscy czujemy intuicyjnie że

tak jest no i ja

teraz wprowadzę przekrój

prz

kiedy ja mam mogę odciąć tą górną część

żeby Dolna pozostała w równowadze No

zgodnie z zasadą Oswobodzenia więzów

mogę to zrobić wtedy i tylko wtedy gdy

zastąpię to co

usunąłem odpowiednim zestawem sił Tak

jakbym stał na jakimś stropie tak stoję

na jakimś stropie mogę usunąć podłogę na

której stoję ale tylko jeżeli pod moje

stopy włożę siły reakcji tej

podłogi No i tak zrobię tutaj A

więc to co to oddziaływanie tej górnej

części na dolną zastąpi zestawem sił

nazywamy te siły często siłami

spójności No na przykład jak ciągnę

sobie za rękę to ten przegub się nie

rozrywa dlatego że działają siły

spójności tym przekroju

tego stawu

nadgarstkowego No i właśnie chodzi o to

że w tym przypadku tego bardzo

specjalnego przypadku w którym mamy

jednoosiowy stan naprężenia Co to jest

to zaraz wyjaśnię a więc sytuacje w

której mamy element w którym dominuje

jeden wymiar i mamy osiowe oddziaływanie

rozciągające możemy narysować naszego

krasnoludka

wprowadzić tego krasnoludka do środka i

je tutaj sklonować i stwierdzić że każdy

z tych krasnoludków czuje się tak samo

jest tak samo ciągnięty tu za tą

łapkę bo mamy równomierną intensywność

tych sił

spójności czasami mówimy też w mechanice

o siłach

elementarnych że siły elementarne bądź

siły infin

intensy w

przekroju i wtedy

mówimy o tak zwanym równomiernym stanie

naprężenia ale nie chcę nadużywać słowa

naprężenie bo jeszcze go ściśle nie

zdefiniował zanim zdefiniuj ściśle słowo

naprężenie najpierw

zdefiniuj

siły

rozciągającej przekrój

wypadkowej siły rozciągającej przekrój

osiowej przez pole powierzchni tego

przekroju i to jest naprężenie średnie i

w takiej sytuacji jak jest tu to nam w

zupełności wystarczy bo mogę wyliczyć to

naprężenie średnie niech ono wesem 250

Meg materia z którego kupiłem prę ma

wytrzymałość na rozciąganie 300 m No to

wiem że moje

250 jest mniejsze niż 300 No i

pozamiatane wiem że przekrój mi

przeniesie ten ciężar więc mam

konstrukcję dobrze

zaprojektowaną No

niestety nie zawsze tak jest że ten

rozkład tych sił elementarnych jest taki

równomierny No bo gdyby tak było to w

zasadzie Mógłbym

definiować wszystko na podstawie takich

prostych liczb czasami mówimy o nośności

na przykład na rozciąganie tak mówimy

pręt ma nośność na rozciąganie konkretny

pręt f ileś tam kupujemy sobie z fabryki

i wiemy że on ma nośność na rozciąganie

800 K tak na przykład vanta jakiegoś

może nie vanta ale o wieszak mostu

łukowego ma 800

K

nośności i wtedy w ogóle się nie muszę

bawić w dzielenie sił elementarnych

przez powierzchnię czy siły w tym

przypadku bardzo proste dzielenie siły

rozciągającej przez powierzchnię całego

przekroju tylko wiem że siła

rozciągająca przekroju jaką się

spodziewam to jest taka nośność pręta

jest taka porównuje jedno do drugiego

pozamiatane w ogóle mi nie jest

niepotrzebne naprężenie wystarczy

znajomość definicji pojęcia siła w

kiloniuton i porównuję dwie siły tak

jakbym kupował linę do wyciągarki w

samochodzie terenowym tak dobieram linę

na taką siłę żeby udźwignę ten samochód

terenowy po prostu I nie potrzebuję

żadnych naprężeń mam nośność w

kiloniuton czy nawet czasami w

kilogramach czyli po podzieleniu przez

przyspieszenie ziemskie

981 Met na sekundę do kwadratu i to to

jest pozamiatane więc pytanie po co nam

to naprężenie skoro możemy je w tak

zastąpić porównanie nośności do siły No

po to że to jest mega szczególny

przypadek i on wbrew pozorom jest bardzo

rzadki w większości

przypadków oczywiście w cięgnach

faktycznie ma miejsce tak Czyli W

elementach bez sztywności giętne No ale

jak już ten pręd bym chciał nie wiem

zacząć też zginać i na przykład wykręcać

No to już te krasnoludki nie pracowały

każdy tak samo i nie byłoby tutaj tej

linii

horyzontalnej jakby łączącej te siły

spójności także to jest bardzo

szczególny przypadek w którym wystarczy

nam ten prosty wzór tak żeby udowodnić

sobie że nie zawsze tak jest popatrzmy

sobie na przykład takiej

blachy mamy blachę która jest Załóżmy że

ona żyje w świ żyje w świecie w którym

są tylko dwa wymiary a więc wymiar x

y Załóżmy że w takim świecie ta blacha

żyje nie ma w ogóle tego dystansu od

kamery i do

kamery no i ta blacha jest rozciągana

dwoma siłami ja znowu zbuduję sobie

przekrój AA przez taką

blachę ona jest tutaj podczep u góry i

rozciągana w tą stronę No i

teraz

prz więzów muszę tutaj czymś

reprezentować to że ta blacha jest

trzymana u góry Ja tutaj to zrobię za

pomocą krasnoludków czyli te górne

krasnoludki Trzymają te Dolne

krasnoludki za rączkę i nie pozwalają

tej temu dolnem kawałkowi blachy

odlecieć

w

kosmos ruchem jednostajnie

przyspieszonym

No każdej tej połączeniu za łapki tych

krasnoludków możemy

wsowa siły jeżeli tych krasnoludków

byłoby nieskończenie wiele czyli by stał

krasnoludek na krasnoludku na

krasnoludku to mówimy że te siły to

byłyby te siły elementarne te infinityzm

siły elementarne tak Czyli te właśnie

siły spójności no ale niestety w

przeciwieństwie

do poprzedniego przykładu gdzie mieliśmy

tutaj te siły równomierne równomierne

intensywności

tutaj wektory tych sił mogą być mogą

mieć różny kierunek nie muszą być wcale

takie same jeż chodzi o kierunek No i na

pewno nie są takie same jeżeli chodzi o

wartość Tak więc jak obrysuj sobie

teł elementar zwiększ ich liczbę tak bo

ich jest tak naprawdę nieskończenie

wiele to okaże się że ich rozkład nie

jest

równomierny No

i nie jestem już w stanie zrobić takiego

uproszczenia w którym średni sobie te

wszystkie siły do jakieś wartości

średniej dzielę przez pole przekroju tej

blachy i porównuję do wytrzymałości na

rozciąganie bo wyjdzie mi że jest okej a

tutaj ta blacha pęknie w tej

strefie tak albo się up plastyczni

chociaż i a tego byśmy na przykład nie

chcieli bo chcemy żeby ta blacha sobie

pracowała w zakresie

sprężystym no i w związku z tym taka

ocena nam nie wystarczy musimy zacząć

rozpatrywać te elementarne siły

wewnętrzne w odniesieniu do

odpowiadających

im

przedziałów tego przekroju tak Czyli

muszę to podzielić przez odpowiednie

pole przekroju który odpowiada tej sile

to przez siłę i to sprawdzi jakie to

jest naprężenie jakie to jest naprężenie

muszę powiedzieć to przez siłę i

sprawdzić jakie to daje naprężenie bo to

będą inne liczby inne stopnie niewygody

tych

krasnoludków niż te te Tutaj będą miały

lekko i luźno A te będą miały

także już nie wystarczy podzielenie

globalnie średniej siły rozciągającej

Przez cały przekrój bo to będzie

nadmierne uproszczenie i mogę spowodować

swoimi uproszczeniami

nadmiernymi myślowe

zaniedbanie w mojej opiece nad tą

konstrukcją tak dlatego teraz wróćmy do

jescze bardziej ogól

przypadku której mamy jakieś obciążenia

zewnętrzne oczywiście zapewniamy jej

takie podparcie żeby nie była

mechanizmem ani nie była jakąś Nie wiem

asteroid która gdzieś tam

sobie

zmierza innym kierunku niż byśmy chcieli

czyli w ogóle nie jest mechanizmem No i

teraz w takim ogólnym przypadku

WM przekroju co się z nimi dzieje na

skutek tych oddziaływań zewnętrznych i

tego podparcia tak Czyli odetnę już moją

bryłę bo skupię się na przekroju wyłączę

też tutaj podpory i

siły No i

malutką powierzchnią d Omega taką

elementarną powierzchnią mówimy No

i tak czyli to jest ta można powiedzieć

ta łapka tego krasnoludka czy ten

nieskończenie mały krasnoludek w całości

i tej malutkiej powierzchni przekroju

odpowiada malutka siła spójności czyli

ta siła która reprezentuje w tym

malutkiej powierzchni to co robiła

pozostała część bryły Czyli jak ta

pozostała część bryły działała na ten

malutki placuszek to jest ta siła DF to

jest ta elementarna siła spójności

Dlaczego d no bo ona jest też

nieskończenie mała bo odpowiada

nieskończenie małemu polu analizowanego

przekroju okej No i

teraz można wreszcie

zdefiniować wektor naprężenia

okej wektor naprężenia to jest nic

innego jak iloraz tej nieskończenie

małej siły

spójności do nieskończenie małego pola

na które ta siła spójności działa iloraz

tego i tego i niestety w przypadku

ogólnym ten wektor będzie inny w każdym

jednym punkcie tego

przekroju to trzeba mieć na uwadze i to

jest niestety

także p tutaj nie jest konstans wektor

naprężenia nie jest stały No i właśnie

wyraża się tym wzorem o którym mówiliśmy

więc wreszcie mam jakąś formalną

definicję chociaż te definicje

nieformalne też są ważne Może to już

wtedy nie jest definicja a bardziej

takie taka intuicja za pewną wielkością

fizyczną ale ta intuicja też jest też

jest dla naszych naturalnych sieci

neuronowych które mamy między uszami

dość

ważne No i możemy rozbić ten wektor

naprężenia na wektor styczny do

przekroju Co to znaczy styczny to znaczy

znajdujący się w płaszczyźnie tego

zielonego przekroju i wektor prostopadły

do tego przekroju tak I mówimy że wtedy

ten wektor który jest w płaszczyźnie

przekroju to jest ta to

jest naprężenie styczne

i naprężenie normalne czyli prostopadłe

do płaszczyzny przekroju rozbijamy to na

dwie sekcje na dwie na dwie składowe

może Nie sekcje No możemy tutaj

zaznaczyć sobie ten nasz punkt i No mam

jeszcze jedną złą wiadomość ta zła

wiadomość polega na tym

że

pozi Aloś tak przekrój nachylony Pod

innym kątem niż ten zielony to dostanę

zupełnie inny wektor

naprężenia No i właśnie żeby znać wiedzę

o tym że ten krasnoludek się czuje

dobrze czy nie Czy on jest

zagrożony

naprężenia względem jednego

przekroju muszę zbudować TR niezależne

płaszczyzny i względem trzech

niezależnych płaszczyzn zdefiniować

wektor

naprężenia i wtedy dopiero mam pełną

wiedzę w takim ogólnym przypadku czy

krasnoludek jest zagrożony a mówiąc

bardziej formalnie czy ten element W tym

punkcie jest być może

zagrożony zniszczeniem dopiero wtedy mam

wiedzę o tak zwanym stanie

naprężenia w danym punkcie Ja tą wiedzę

muszę zdobyć W każdym punkcie ciała żeby

wiedzieć że każdy punkt tego ciała

bezpiecznie

przenosi

obciążenia zewnętrzne dlatego w

mechanice zamiast budować trzech takich

zupełnie losowych płaszczyzn posługujemy

Trę takim

bardziej

płaszczyzn wokół punktu weźmy sobie ten

nas punkt i budujemy taki sześcian w

których interesuje mnie interesują mnie

te TR trzy płaszczyzny które są bliżej

mnie ten sześcian jest też nieskończenie

mały i przypisany konkretnym

współrzędnym

kartezja

wspz

sześcianu są też nieskończenie małe i

wynoszą DX dy i d

z No i teraz żeby zdobyć wiedzę o tym

jak się czuje ten punkt Czy jeżeli to

Zamieniliśmy punkt na krasnoludka to jak

się czuje ten krasnoludek wewnątrz tego

materiału wewnątrz tego elementu naek

tych zewnętrznych oddziaływa muszę

zastan chodzi o wektory naprężeń na

każdej z tych trzech

płaszczyzn a więc muszę rozpisać

naprężenia

styczne w kierunku pionowym i poziomym

na ścianie y y tak samo na ścianie tej

którą nazwę XX i ścianie

ZZ i dopiero w oparciu o te wszystkie

liczby Jak widzimy tych liczb jest d

mogę zebrać te liczby w

macierz i nazwę te liczby tak zwanym

torem i w oparciu dopiero o te wszystkie

liczby jestem w stanie ocenić czy dany

punkt jest zagrożony czy

nie Jak to

robię

wajem i stwierdzić

że tak naprawdę nie mamy

w opisie stanu naprężeń naprężenia

dziewięciu niezależnych liczb a mamy ich

tylko 6 bo ta macierz jest symetryczna a

więc kiedy Zamienię kolumny na wiersze w

tej macierzy dostanę tą samą macierz

inaczej przy

x y naprężenie na styczne to jest takie

same jak

to więc żeby zdefiniować czy dane ciało

jest zagrożone zniszczeniem czy nie A

więc zdefiniować stan naprężenia w ciele

potrzebuj s niezależnych liczb w ogólnym

przypadku nie w takim prostym jak tu ale

w ogólnym takim

niestety aż sześciu niezależnych

liczb no i ten ta grupa liczb zebrana w

taką macierz nazywa się tensor

naprężenia Jak już wspominałem Co to

jest tensor tensor to jest grupa liczb

która ma taką cechę że jak zmienię układ

współrzędnych do którego ten układ się

odnosi to bardzo łatwo jestem w stanie

przeliczyć wszystkie te liczby na nowe

Jeżeli wiem że ja będę miał nowy układ

współrzędnych przesunięty o ileś tam na

przykład tutaj i nachylony pod jakimś

tam kątem względem tego starego układu

współrzędnych to mogę bardzo

szybko wykorzystując ścisłe procedury

przeliczyć wszystkie te liczby na nowe

tym się cechuje tensor No i tak naprawdę

tensor można odnieść do wszystkiego tak

jeżeli mamy jakiegoś człowieka który

pracuje na przykład na placu budowy

waży razem z młotkiem ciesielskim i

gwoździami przy pasie 100

kg

tak No

to można powiedzieć

że to jest masa ten człowiek który

pracuje na budowie to jest masa 100 kg

która porusza się w przestrzeni

trójwymiarowej i opisać to liczbą 3 do

zer bo mamy TR wymiary ale mamy Skalar

bo masa jest skalarem no i 3 do zer to

jest 1 i okazuje się że możemy

zdefiniować w ten sposób masę tego

człowieka po prostu jedną liczbą ale

jeżeli byśmy już chcieli zdefiniować

prędkość na przykład narciarza który

zjeżdża po

stoku to wykorzystaliśmy do tego wektor

tak wektor w przestrzeni trójwymiarowej

ma trzy

współrzędne A więc to jest 3 do

pierwszej prawda 3 do potęgi pierwszej

to

3 No tensor to jest jakby

kolejny kolejne uogólnienie tak czyli

mamy Skalar wektor teraz tensor czyli

uogólnienie wektora gdzie tensor to już

3 do

kwadratu dlatego jest

liczb Oczywiście

możemy

ale to może Temat nie na dzisiaj w

każdym razie co chciałbym żebyśmy

zapamiętali to to że tensor to jest

grupa liczb która bardzo łatwo daje się

poddać przeliczeni ścisłym przeliczeni

jeżeli zmienimy układ współrzędnych a to

w obliczeniach wykorzystujemy mega

często w obliczeniach konstrukcji i to

mówi praktycznie

Oj

wrac liczb tutaj te s niezależnych

liczb na przykład

te jesteśmy w stanie zastąpić za pomocą

odpowiednich

wzorów te s

liczb jedną liczbą i porównać to co się

dzieje w tym punkcie opisać to tylko

jedną liczbą za pomocą odpowiednich

wzorków jest wzorek który ma w sobie te

s liczb i

tyko ją liczbą i t jedną liczbę nazywamy

naprężeniem

zredukowanym i możemy to naprężenie

zredukowane odnieść do wytrzymałości

materiału na rozciąganie w ten sposób

możemy powiedzieć aha W tym punkcie jest

bezpiecznie i możemy przejść do analizy

kolejnych punktów

tak

słowem

nieoczywistym wielkością

niezywi bo nie nie daje się zamknąć

naprężenie

nam jedną liczbą tak łatwo i niestety

wzory na to Jak zastąpić te s liczb

jedną liczbą są różne w zależności od

tego zim materiałem Mam do

C wstać tych hipotez jest bardzo wiele i

tych hipotez jest bardzo wiele w

odniesieniu do danego materiału Czyli

mamy bardzo dużo hipotez i bardzo dużo

różnych materiałów w których te hipotezy

często są zupełnie różne więc nie mamy

jednego wzoru które kompaktuj nam te

sześć liczb do jednej liczby także jak

państwo widzicie mamy tu pewne

warstwy skomplikowania na sobie tak

Zaczęliśmy od prostej nośności w opisie

jednej liczby a skończyliśmy na ten szek

którym mamy d liczb i całą

grupę No niestety dużą

liczbę grupę reprezentowaną dużą liczbą

wzorów żeby skakać te s zebranych liczb

do jednej i to niestety jest wynik tylko

w jednym punkcie a potrzebujemy wyników

we wszystkich punktach

żeby ocenić daną konstrukcję oczywiście

zazwyczaj nie Poszukujemy tych punktów

rozsianych nieskończenie gęsto w

konstrukcji tylko przyjmujemy ich

skończoną liczbę upraszczając te

zależności pewnymi wyrażeniami

algebraicznymi ale

generalnie roboty jest dużo szczególnie

w przypadku takich ogólnych konstrukcji

których nie dominuje jeden wymiar nie

dominuje jakiś jeden kierunek

no to wtedy No niestety ale musimy

korzystać z tych ogólnych zależności No

dlatego jak otworzymy przeciętny

podręcznik akademicki dotyczący naprężeń

No to bardzo szybko robi się dość

przerażający ten podręcznik tak bo

niestety no nie są to zagadnienia

zupełnie trywialne ale mimo wszystko mam

nadzieję że troszeczkę lepiej Teraz

państwo czują pojęcie zarówno od strony

intuicyjnej Jak i od strony tego

Dlaczego musimy mieć ten aparat

matematyczny który mamy w mechanice

teoretycznej bardzo Państwu Dziękuję za

uwagę