[ترجمة AI. أرسل التصحيحات على criblate.com] في هذه الأيام، كلما نظرت إلى مؤخرة رأس طفلي الحبيب البالغ من

العمر 7 أشهر، تذكرني هذه الدوامة الصغيرة من الشعيرات الصغيرة

بإحدى أكثر الحقائق السخيفة في الرياضيات، وهي نظرية الكرة المشعرة.

أعدك أن هذا جزء من عملية حسابية جادة حقًا، حيث تتمثل العبارة بشكل

غير رسمي في أنه إذا كان لديك كرة مغطاة بالشعر، وحاولت تمشيطها، فلا

توجد طريقة للقيام بذلك دون أن يلتصق الشعر في نقطة واحدة على الأقل.

على سبيل المثال، لنفترض أنك حاولت تمشيطها كلها عكس اتجاه عقارب الساعة حول محور ما.

ثم في الجزء العلوي والسفلي، ينتهي بك الأمر بهذه الدوامات الصغيرة،

ولن يكون للشعر الموجود في منتصف تلك الدوامات مكان يذهب إليه.

إنها مجبرة على الالتصاق.

في الواقع من الممتع جدًا أن تتلاعب بهذا الأمر في عقلك، حيث مهما حاولت تسطيح

الشعر، فمن المضمون حسابيًا أنك ستحصل على خصلة واحدة على الأقل مثل هذه.

في الواقع، حتى أن اختزالها إلى نقطة مشكلة واحدة فقط، بدلاً من نقطتين، يمثل تحديًا كبيرًا.

هذا ممكن، وإذا كنت من محبي الألغاز، فأنا أشجعك على محاولة التفكير في كيفية عملها.

في وقت لاحق في هذا الفيديو، سأوضح لك طريقة واحدة على الأقل يمكنك التفكير في القيام بذلك.

لكن في الوقت الحالي، أتصور أن هناك سؤالاً أكثر إلحاحاً، وهو أنك قد

تتساءل لماذا يهتم عالم رياضيات بتمشيط الكرات الرقيقة بهذا الشكل.

وبالطبع الإجابة هي أنهم لا يفعلون ذلك.

إن الاسم والبيان غير الرسمي هو نوع من السخرية اللسانية.

سأقوم بالطبع بمشاركة العبارة الأكثر رسمية، وفي الواقع إن السبب

الحقيقي الذي دفعني لتصوير هذا الفيديو هو مشاركة طريقة أنيقة

غير معتادة لإثبات ذلك، وأعتقد أنها ستسعد أي محب للرياضيات.

ولكن قبل أي من ذلك، دعونا نحفز الأمور بمثال على نوع من المواقف التي تنشأ فيها هذه

المجالات الرقيقة بشكل طبيعي في الممارسة العملية، في سياق يبدو في البداية غير مرتبط

تمامًا.

حسنًا، تخيل أنك مطور ألعاب، وأنت تبرمج لعبة ما حيث لديك نموذج ثلاثي

الأبعاد لطائرة، وما تريده هو أن تكون قادرًا على اتخاذ مسار عشوائي لهذه

الطائرة لتطير فيه، ويفترض أن يكون شيئًا محددًا من قبل المستخدم، ومهمتك

هي كتابة دالة توجه الطائرة بشكل صحيح أثناء تحركها على طول هذا المسار.

لذا، على سبيل المثال، لنفترض أنك عند نقطة معينة على مسار معين.

من الواضح أنك تريد تحريك مركز النموذج ليكون في تلك النقطة،

ولكنك ستجد غموضًا في كيفية تدويره في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

القيد الواضح هنا هو أنك تعرف أن مقدمة هذا المستوى يجب أن تشير

على طول متجه المماس للمسار، ولكن حتى هذا يترك بعض الغموض.

كيف تدور الطائرة حول هذا المحور من المقدمة إلى الذيل؟

إحدى الطرق التي يمكنك التفكير بها في تحديد درجة الحرية الأخيرة هذه هي بدلالة

النقطة التي يشير إليها هذا المتجه العمودي على طول اتجاه الجناح الأيسر.

تتمثل مهمتك، كمبرمج للعبة الفيديو هذه، في معرفة ما يجب أن

يكون عليه اتجاه الجناح العمودي في كل نقطة على طول مسار معين.

والآن، هناك طريقة صحيحة لفعل ذلك، والتي تتضمن حساب المشتقة الثانية

للمسار، والعمل على كيفية جعل ذلك يتطابق مع قوة الرفع من الأجنحة

مع الجاذبية، ولكن ربما يبدو ذلك معقدًا بعض الشيء في الوقت الحالي.

أيها المبرمج الحاذق والكسول الذي تتسم بالحيلة والكسل، قد تفكر:

هل هناك شيء معقول يمكنني فعله لاختيار اتجاه جناح ما عمودي على متجه سرعة معين، وهو

اتجاه اتجاه اتجاه الطائرة؟

إليك طريقة واحدة يمكنك التفكير بها.

كل الاتجاهات الممكنة التي يمكن أن يشير إليها هذا المستوى في الفضاء، وهي

اتجاهات الاتجاهات المختلفة التي لونتها باللون الأحمر، تشكل نقاط كرة الوحدة.

ما تريده هو كتابة دالة تأخذ متجهًا معطى على هذه الكرة وتعيد

خيارًا ما لمتجه عمودي عليه، وهو المتجه الذي لونته باللون الوردي.

القيد الحقيقي الوحيد هو أنك تريد أن يكون هذا الارتباط مستمرًا، وإلا سيعني

ذلك أن اتجاه الطائرة قد يقفز بشكل حاد، مما سيشكل خللًا واضحًا جدًا في اللعبة.

وإذا كنت لا تعرف أي شيء آخر، فإنك تشعر حقًا أن هذه مهمة ممكنة.

ففي نهاية المطاف، بالنسبة لاتجاه اتجاه معين، لن تكون متعطشاً للخيارات.

لديك عدد لا نهائي من اتجاهات الأجنحة للاختيار من بينها، دائرة كاملة من الخيارات.

إذن، ما مدى صعوبة اتخاذ خيار معقول لكل نقطة على الكرة التي تختلف باستمرار؟

قد ترى إلى أين أنا ذاهب بهذا.

اختيار اتجاه عمودي كهذا يكافئ اختيار متجه الوحدة المماسي لتلك النقطة من الكرة.

لذا، إذا كنت تعين عمودًا عموديًا محددًا لكل اتجاه ممكن يمكن أن يشير إليه

المستوى، فهذا في الأساس يماثل تحديد متجه مماس عند كل نقطة على الكرة.

الآن بدأ هذا يبدو أكثر قليلاً مثل كرة مشعرة.

وفي الواقع، هذا هو الوقت المناسب الآن للتراجع ووصف

ما تنص عليه نظرية الكرة المشعرة بشكل أكثر رسمية.

إذا كان لديك كرة واخترت نقطة ما على هذه الكرة ومستوى مماس للكرة عند هذه النقطة، فإن أي

متجه تختاره داخل هذا المستوى، والذي يكون جذره عند هذه النقطة، يسمى متجه مماس للكرة.

إذا عيَّنت متجه مماس لكل نقطة على الكرة، أي متجه لكل

مستوى مماس ممكن، فإننا نسميه حقلًا اتجاهيًّا على الكرة.

وعندما ترسم حقولاً متجهة كهذه، فمن المعتاد دائماً

أن تقوم بتصغير حجم المتجهات حتى تتجنب الفوضى.

والشيء الآخر الذي يجب أن نضعه في الاعتبار هو أنه على الرغم من أن مثل

هذا الرسم التوضيحي لا يعرض بالضرورة سوى مجموعة منتهية من المتجهات، التي

لها جذور عند مجموعة منتهية من النقاط على الكرة، فإن الحقل الاتجاهي

يتكون بالطبع من عدد لا نهائي من المتجهات، واحد لكل نقطة على السطح المتصل.

إذن، تنص النظرية، وهي شخصيتنا الرئيسية لهذا اليوم، على أنه إذا كان الحقل

الاتجاهي متصلًا، أي لا توجد قفزات مفاجئة في اتجاهه، فلا بد أن يكون له

نقطة واحدة على الأقل ذات متجه لا قيمة له، أي متجه طوله يساوي صفرًا.

على سبيل المثال، انظر إلى حالة النموذج ثلاثي الأبعاد.

كانت الوظيفة التي كنت أستخدمها في العديد من الرسوم المتحركة

هناك هي محاولة إبقاء سقف الطائرة موجهًا لأعلى قدر الإمكان.

وعندما تعبر عن هذه الدالة على صورة حقل متجه، حيث نعتبر كل اتجاه ممكن لمقدمة

المستوى نقطة على الكرة، ونعتبر كل اتجاه مناظر للجناح متجه مماس عند تلك النقطة

من الكرة، يتضح أن الدالة التي استخدمتها تعطي حقلًا متجهًا يدور حول المحور الرأسي.

هذا في الواقع يعطي رسومًا متحركة معقولة بما فيه الكفاية في

معظم الحالات، ولكن المشكلة هي أن لديها انقطاعًا في القطبين.

لذا إذا تركت الطائرة تشير إلى الأعلى أو الأسفل مباشرةً باستخدام هذه

الدالة، ستحصل على هذا السلوك المتقطع أثناء مرورها في هذا الاتجاه.

الآن، إذا كنت مجرد مبرمج يعبث بهذا، فقد تعتقد أنه يمكنك تعديل الأشياء

لتجنب مثل هذا الخلل، ولكن في الواقع، تضمن نظرية هاري بول أنه مهما كنت

ذكيًا، فأنت محكوم عليك أن يكون لديك اتجاه ما ينتج عنه هذا النوع من الخلل.

لذا بالنسبة للرسوم المتحركة القوية، لا يمكنك ببساطة

استخدام اتجاه مقدمة الطائرة لتحديد اتجاهها الكامل.

ليس لديك خيار سوى الرجوع إلى الوراء ودمج معلومات أكثر من متجه السرعة وحده في المسار.

وكمثال آخر، فكِّر في سرعة الرياح عند كل نقطة على

الأرض، على سبيل المثال، عند ارتفاع ثابت ما.

من الافتراضات المعقولة جداً أن سرعة الرياح تتغير

باستمرار، لذا يجب أن تنطبق نظرية هاري بول.

إن نمط الرياح الذي أقوم بتحريكه هنا غير واقعي تمامًا من وجهة نظر

الأرصاد الجوية، لكن النقطة المهمة هي أنه مهما كان نمط الرياح الذي

تحلم به، واقعيًا كان أو غير واقعي، فإن نظرية هاري بول ستضمن وجود مكان

واحد على الأرض دائمًا على ارتفاع معين حيث تكون سرعة الرياح صفرًا تمامًا.

وإذا أردنا أن نكون متحذلقين، فيمكننا القول إن الغلاف الجوي ثلاثي الأبعاد،

لذا فإن العبارة الأدق هي أن مركبة سرعة الرياح الموازية للأرض تساوي صفرًا.

كما تعلم، يمكن أن تكون متجهة لأعلى أو لأسفل بشكل

مستقيم، ولكن لا يزال الأمر غير بديهي نوعًا ما.

مثال أكثر واقعية بعض الشيء هو إذا كنت تريد إشارة راديو متطابقة تمامًا في

كل اتجاه من الفضاء الثلاثي الأبعاد، بمعنى أن كل شخص على مسافة معينة من

المصدر يتلقى موجة راديو متطابقة بنفس الطور والسعة في جميع النقاط الزمنية.

قد يبدو ذلك هدفًا معقولًا، ولكن إذا كنت تعرف القليل عن الموجات الكهرومغناطيسية، فستعرف

أنها تذبذبات في مجالين متجهين مختلفين، المجال الكهربي والمغناطيسي على وجه التحديد.

الأهم من ذلك، أن اتجاه التذبذب لكل مجال من هذه المجالات يكون

دائمًا عموديًا على اتجاه الانتشار، على الأقل بعيدًا عن المصدر.

لذا، فكر فيما يعنيه ذلك.

على مسافة معينة من المصدر، يبدو أي من هذين الحقلين كحقل متجه مماس على الكرة، وتنص

نظرية الكرة المشعرة على أن نقطة واحدة على الأقل من هذا الحقل المتجه يجب أن تكون

صفرًا، لذا فإن الطريقة الوحيدة للحصول على إشارة متطابقة تمامًا في كل اتجاه من الفضاء

الثلاثي الأبعاد هي أن تكون الإشارة نفسها صفرًا، وهو ما يتعارض مع الفكرة على الأرجح.

لقد ذكرت هذه الأمثلة فقط لأقول أن هذه الحقيقة التي تبدو مرحة عن الكرات الرقيقة تظهر

بالفعل في أماكن غير معتادة، لكن ما أريد فعله حقًا في هذا الفيديو، المتعة التي أريد

أن أحظى بها هي أن أدعكم تستكشفون هذه الفكرة بالطريقة التي قد يفعلها عالم رياضيات بحت.

أولًا، هذا اللغز الذي ذكرته في البداية يعطي في الواقع طريقة رائعة

حقًا لاستعراض عقلك ورؤية كيف أن ما يبدو واضحًا ليس صحيحًا دائمًا.

ثم بعد ذلك، أريد أن أشارككم برهاناً جميلاً تماماً يشرح سبب صحة هذه النظرية.

إذن، إلى اللغز

لا أعرف عنك، ولكن عندما كنت ألعب بهذه الفكرة في البداية في ذهني لبناء بعض

الحدس، لم يكن واضحًا على الإطلاق أن الاختزال إلى نقطة صفرية واحدة ممكن حتى.

بالنسبة لمعظم الحقول المتجهة التي يمكنني أن أحلم بها، ستحصل على الأقل

على دوامة واحدة تسير في اتجاه واحد، ودوامة أخرى تسير في الاتجاه الآخر.

أو ربما مصدر في نقطة ما، وحوض في نقطة أخرى.

وهذا يجعل من المغري حقًا أن نقترح أنه يجب أن يكون هناك قانون عام حول الحاجة إلى

نقطتين فارغتين مختلفتين على الأقل مع وجود شيء متعاكس بينهما يجب أن يلغي أحدهما الآخر.

شيء مثل القطبين الشمالي والجنوبي للمغناطيس.

على الرغم من أن ذلك مغرٍ، إلا أنه بقليل من الذكاء،

من الممكن الحصول على نقطة واحدة فقط لاغية.

وهناك طريقة لطيفة لتعريف ذلك باستخدام ما يعرف بالإسقاط المجسم، حيث يتم تعيين

كل نقطة على الكرة، باستثناء القطب الشمالي، إلى نقطة فريدة على المستوى السيني.

الطريقة التي تعمل بها هذه الطريقة جميلة جداً.

تخيل ضوءًا يسطع من ذلك القطب الشمالي، وكل شعاع ضوء يمر بنقطة

ما على الكرة يصطدم أيضًا بنقطة واحدة فقط من المستوى السيني.

ويسير الأمر بالعكس أيضاً.

كل نقطة في المستوى السيني تناظر نقطة فريدة على تلك الكرة، ما يعني أنه

يمكن تعيين هذا المستوى على كل نقطة في الكرة، باستثناء القطب الشمالي.

هذا هو التعيين المفضل لدى علماء الرياضيات، والطريقة التي يمكننا

استخدامها هنا هي تخيل وجود حقل متجه على المستوى xy لا يساوي صفرًا أبدًا.

هذا بسيط بما يكفي لتعريفه.

يمكنك أخذ حقل متجه ثابت، يشير دائمًا بوحدة واحدة إلى اليمين.

إذا أسقطت هذا الحقل الاتجاهي على الكرة، فهذا يعطيك

شيئًا لا يساوي صفرًا في كل مكان، باستثناء القطب الشمالي.

وباعتراف الجميع، فإن الطريقة التي أعرضها الآن تجعل من

الصعب نوعاً ما تحليل ما يحدث بالضبط حول القطب الشمالي.

السبب الأساسي في ذلك هو أنك إذا أخذت عينة منتظمة من النقاط على المستوى،

فإنها تصبح كثيفة إلى ما لا نهاية حول هذا القطب الشمالي تحت هذا الإسقاط.

لذا دعوني أوضح لكم طريقة ثانية يمكنني أن أوضح بها الأمور، والتي بالمناسبة

أيضًا تفسح المجال لتعريف أكثر دقة لما أعنيه حتى بإسقاط حقل اتجاهي على كرة كهذه.

تخيَّل مائعًا يسري على المستوى بسرعة منتظمة بمقدار وحدة واحدة في الثانية في اتجاه

اليمين، ثم تخيَّل كيف سيبدو مسقط كل جسيم من هذا المائع على الكرة أثناء حركته.

إذا أخذت متجهات السرعة المتجهة لتلك الجسيمات المسقطة

على الكرة، فهذا يحدد الحقل الاتجاهي الذي أتحدث عنه.

وبتوضيحها بهذه الطريقة، يمكنك أن ترى بشكل رائع حقًّا كيف أن خطوط السريان كلها تشكل

دوائر كاملة على الكرة، وكلها متماسة مع السرعة المتجهة صفر عند هذا القطب الشمالي.

إنه حقاً إسقاط رائع.

النقطة المهمة هي أنه حتى إذا كان اللعب الذهني والحدس الأولي قد يوحي

بأن الحقول المتجهة على الكرة يجب أن تحتوي على نقطتين فارغتين على الأقل،

فإن القليل من الإبداع يمكن أن يمنحك حقلاً يحتوي على نقطة واحدة فقط.

كيف تعرف أن الأمر يتوقف عند هذا الحد؟

كيف يمكنك أن تثبت بصرامة أنه بغض النظر عن مدى ذكائك وإبداعك، لا يمكن ببساطة

تعريف حقل متجه متصل دون إجبار نقطة واحدة على الأقل على أن يكون لها متجه صفري؟

هنا يبدأ الذكاء الحقيقي.

الطريقة التي سنتعامل بها مع هذا الأمر هي البرهان بالتناقض، بمعنى أنك ستفترض أن مثل هذا

الحقل الاتجاهي غير الصفري على الكرة ممكن، ثم تستنتج أن شيئًا مستحيلًا يجب أن يتبع ذلك.

كما قلت، فإن الحجة التي أريد أن أعرضها جميلة حقاً، وأعتقد أنها

تزداد جمالاً إذا شعرت أنها شيء كان بإمكانك اكتشافه بنفسك.

لذا، كما هو الحال دائمًا، يرجى التوقف والتأمل كلما شعرت بأنك ترى الفكرة الرئيسية.

هذه الحجة ليست من عندي، فقد جاءتني عن طريق عالمة الرياضيات سينيا شيدفاسر،

التي تفضلت أيضًا بوضع الرسوم المتحركة التالية لتوضيح الفكرة الأساسية.

والمخطط الأساسي هو أنه إذا كان مثل هذا الحقل الاتجاهي المتصل غير الصفري موجودًا

بالفعل، فيمكنك استخدامه لإنشاء تشوه مستمر للكرة يقلب هذه الكرة رأسًا على عقب.

وبعد ذلك سنثبت لماذا يستحيل في الواقع قلب الكرة من

الداخل إلى الخارج، على الأقل بطريقة معينة من حيث التحدث.

في هذه المرحلة سيصرخ مشاهدو يوتيوب الرياضيات الكلاسيكية

على شاشاتهم، ولكن تحملوني، أعدكم بأنني سأصل إلى ذلك.

حسناً، إذاً هذا التشوه المستمر غريب بعض الشيء لتعريفه، لكن إليك كيفية عمله.

تخيل أن الكرة مركزها نقطة الأصل لنظام إحداثي ما في فضاء ثلاثي الأبعاد.

بالنسبة إلى نقطة مُعطاة على هذه الكرة، فكِّر في المتجه

المرتبط بهذه النقطة، وهو المتجه من الحقل الاتجاهي.

إذا قطعت الكرة على طول مستوى، وهو ما يُعرَّف بهذا المتجه والخط الشعاعي إلى نقطة الأصل،

فإن المستوى يتقاطع مع الكرة عند دائرة عظمى معينة، أي دائرة مركزها أيضًا نقطة الأصل.

ما ستفعله هو أن تدع هذه النقطة من الكرة تتحرك على طول هذه الدائرة

في اتجاه هذا المتجه الابتدائي حتى تصل إلى منتصف الطريق بالضبط.

فقط للتوضيح، أنا لا أقول أنه يتدفق على طول الحقل الاتجاهي العام للكرة.

تتحدد حركتها بالكامل من خلال المتجه الوحيد الذي بدأت به.

الحقيقتان المهمتان اللتان يجب إبرازهما هما أنه ينتهي إلى سالب المكان الذي

بدأ منه، ثم أيضًا لأن حركته محددة بالكامل بالمتجه الذي بدأ منه، ولأننا

نفترض أن الحقل المتجه كله متصل، فإن النقاط القريبة سيكون لها مسارات متقاربة.

في الوقت الحالي، أنا أعرض لكم نقطة واحدة فقط تتحرك على طول مسار نصف الدائرة

المحدد لها، ولكن يمكننا أن نسلط الضوء على عدد قليل من النقاط الأخرى على

الكرة، ولكل منها متجه خاص بها مرتبط بها، وكل منها يحدد دائرة كبيرة للسير

عليها، ويمكنكم مشاهدة كل هذه النقاط تتجول على طول المسارات المحددة لها.

تذكَّر أننا نفترض أن الحقل الاتجاهي لا يساوي صفرًا في كل مكان.

نأمل أن نعارض ذلك، ولكن هذا هو الافتراض.

وهذا يعني أن كل نقطة على الكرة المتصلة اللامتناهية لها مسار محدد بشكل جيد بالمثل.

لذا من الطبيعي أنك تريد أن ترى كيف يبدو شكل الكرة بأكملها وهي تتحرك هذه الحركة.

ولكن عند هذه النقطة تصبح الرسوم المتحركة صعبة بعض الشيء،

بسبب شيء متناقض في جوهره حول توضيح البرهان بالتناقض.

فكّر في الأمر.

نريد أن نوضِّح كيف تبدو هذه الحركة، كما هي مُعرَّفة

بحقل اتجاهي افتراضي لا يساوي صفرًا في كل مكان.

لكن بالطبع، بيت القصيد هو أنه لا يوجد مثل هذا الحقل الاتجاهي.

وكأفضل شيء تالٍ، سنستخدم الحقل المتجه الخاص الذي حددناه

للتو، وهو عبارة عن نقطة فارغة واحدة فقط عند القطب الشمالي.

وبهذه الطريقة، إذا قطعنا القطب الشمالي، يمكننا على الأقل أن نرى ما يمكن أن تفعله

هذه الحركة بمعظم الكرة، حتى لو كان هناك شيء مستحيل في تطبيق ذلك على كل الكرة.

سأمضي قدمًا وأزيل المتجهات نفسها لتجنب الفوضى.

وهذا هنا هو ما تبدو عليه كل نقطة على السطح وهي تخضع لتلك الحركة الغريبة والمحددة بشكل

خاص، حيث تسير كل نقطة على طول مسار نصف الدائرة الخاص بها، والمحدد بأي متجه بدأت عليه.

وفي الواقع، من المربك نوعاً ما متابعة ذلك.

لذا دعوني أعيد عقارب الساعة إلى الوراء قليلاً، حيث ترون

أن الكرة بأكملها تنتهي بعبور الكرة نفسها بشكل محرج.

لتوضيح الأمور، قد نربك الحركة قليلًا بجعل نصف قطر النقاط يختلف أثناء الحركة.

كما أنه يجعل الأمور واضحة إذا قمنا بتوسيع تلك الفتحة في الأعلى.

هذا يجعل متابعتها أسهل بكثير، على الأقل بالنسبة لهذه المجموعة

الفرعية من الكرة، يمكنك أن ترى بوضوح سمتين مهمتين للحركة.

أولاً، تنقلب الكرة رأساً على عقب.

ثانيًا، لا يعبر أي جزء من الكرة نقطة الأصل في أي وقت من الأوقات.

وهذا يجب أن يكون منطقياً.

كل نقطة منفردة تتبع نصف دائرة مركزها نقطة الأصل، لذا بالطبع لا تمر أبدًا بنقطة الأصل.

هذان هما العنصران الأساسيان.

بالنسبة لبرهاننا، ما نريد أن نقوله هو أن هاتين الحقيقتين غير متوافقتين بطريقة ما.

ولكن قبل أن نتمكن من القيام بذلك، علينا أن نتوقف عند هذه النقطة الأولى.

لماذا بالضبط تقلب هذه الحركة الكرة من الداخل إلى الخارج؟

وفي الواقع، ماذا نعني بعبارة "من الداخل إلى الخارج" هنا؟

وفي الواقع، اسمحوا لي أن أبدأ بسؤال أكثر بساطة.

إذا كنت تقف عند نقطة ما على الكرة، فكيف تعرف أيهما خارج الكرة وأيهما داخلها؟

أدرك أن هذا قد يبدو سؤالاً غبياً للغاية.

يمكنك أن تقول انظر فقط إلى أي اتجاه يشير بعيدًا عن الأصل.

ما خطبك؟

لكن المعضلة الحقيقية هنا تأتي من حقيقة أننا ننوي

ترك السطح يتشوه ويتشوه ويتلاعب به بطريقة جنونية.

إذًا ما تريده حقًا هو مفهوم واضح لما نعنيه بالداخل والخارج الذي

يبقى واضحًا حتى بعد التلاعب والتدليك والتلوي بالسطح كله كيفما تحلم.

أسهل طريقة لفعل ذلك أعتقد أنها ستكون شيئًا مألوفًا لأي مبرمجي رسومات، وهي أن

تبدأ بتعيين نظام إحداثيات للكرة، شيء مثل مفهومنا المعتاد لخطوط الطول والعرض.

والصورة التي يجب أن تكون في ذهنك هي أن كل نقطة

في الكرة عليها ملصق صغير مرفق به زوج من الأرقام.

والأهم من ذلك، يمكن أن تتبع هذه التسميات أثناء أي حركة أو تلاعب تقوم بتطبيقه على الكرة.

حول نقطة معينة، فكِّر في اتجاه خط الطول المتزايد وخط العرض الثابت وارسم متجه المماس في

هذا الاتجاه، ثم ارسم خط عرض متزايد مع خط طول ثابت وارسم متجه المماس في هذا الاتجاه.

من هنا، فإن الطريقة التي نحدد بها الاتجاه هي استخدام ما يعرف بقاعدة اليد اليمنى.

يمكنك توجيه إصبعك السبابة على طول المتجه الأول وإصبعك الوسطى على

طول المتجه الثاني، وعندما تخرج إبهامك سيكون عمودياً على كليهما.

لاحظ باستخدام يدنا اليمنى، يكون الإبهام موجهاً للخارج.

وفي الواقع، هذه هي الطريقة التي سنعرِّف بها ما نعنيه

حتى بالخارج فيما يتعلق بالنظام الإحداثي المعطى.

عند القيام بذلك في كل نقطة، ستحصل على ما يُعرف في مجال العمل باسم متجهات الوحدة العادية.

كما أشرت إلى ذلك، فهي مهمة جدًا في رسومات الكمبيوتر، حيث

تتيح لك على سبيل المثال حساب كيفية انعكاس الضوء عن سطح معين.

وبالنسبة لقصتنا، فإن ما يهمنا في قصتنا هو كيف، بغض النظر عن كيفية التلاعب بالسطح أو

تشويهه، لأن نظام الإحداثيات الذي تعطيه له يمكن أن يأتي نوعًا ما في الطريق، يمكنك

دائمًا أن تلعب هذه اللعبة بأن تشير بإصبعك السبابة على طول الاتجاه الذي يزيد فيه

الإحداثي الأول، وبإصبعك الوسطى على طول الاتجاه الذي يزيد فيه الإحداثي الثاني، وتخرج

إبهامك.

من المثير للدهشة أنه من الصعب تحديد ما تعنيه بالداخل

والخارج بطريقة تتبع بشكل طبيعي لأي وظيفة.

لماذا نفعل ذلك إذن؟

فكِّر الآن في ذلك التشوُّه الغريب الذي يُحدِثه الحقل الاتجاهي على الكرة.

كيف يمكننا أن نستنتج بما لا يدع مجالاً للشك أن هذا يجب أن يقلب الكرة من الداخل إلى الخارج؟

حسنًا، هل تتذكر كيف تنتهي كل نقطة منفردة تبدأ من p عند سالب p؟

والطريقة الأكثر وضوحًا للوصول إلى هناك، حرفيًا، هي الانعكاس من خلال الأصل، هكذا.

لذا تأمل تلك الصورة التي كانت لدينا للتو لنقطة

مثالية، مع خطوط الطول والعرض الموجهة التي تمر بها.

لاحظ كيف سيبدو الأمر إذا تركنا كل نقطة في هذا الشكل تنتقل إلى سالبها.

مرة أخرى، يمكنك أن تتخيل أن جميع الإحداثيات الإحداثية للسطح تتحرك معه، لذا

عندما تلعب نفس اللعبة بأن تشير بإصبعك السبابة في الاتجاه الذي يزداد فيه الإحداثي

الأول، وإصبعك الوسطى في الاتجاه الذي يزداد فيه الإحداثي الثاني، والآن، بعد أن

تم نفي كل شيء، لاحظ أن إبهامك يشير نحو نقطة الأصل بدلاً من أن يشير بعيداً.

هذا كله يعني أن الدالة التي تربط كل نقطة p في الكرة بسالبها تقلب الكرة

بالضرورة إلى الداخل، بمعنى عكس الاتجاه بالطريقة التي عرّفناها للتو.

على وجه التحديد، هذا التشوه الغريب جدًا الذي وصفناه بدلالة الحقل

الاتجاهي الافتراضي يجب أن يعكس اتجاهه لأنه يعيّن كل نقطة p إلى سالب p.

يمكنك أيضًا رؤية هذا التأثير بحركة أبسط بكثير توصلنا إلى نفس المكان النهائي.

تخيَّل دوران الكرة 180 درجة حول المحور z، ثم انعكاسها عبر المستوى xy.

وينتج عن ذلك أن كل نقطة p تستقر على سالبها، ولاحظ كيف أن كل متجهات الوحدة

العمودية التي بدأت تشير إلى الخارج تنتهي بالإشارة إلى الداخل، وبما أنها

معروضة هنا بلون خارجي أزرق وداخلي بني، ينتهي الأمر بتبديل هذين اللونين.

وفي هذه المرحلة، قد يتبادر إلى أذهان مشاهدي فيديوهات الرياضيات الكلاسيكية

مقطع فيديو رائع أنتجه مركز الهندسة في جامعة مينيسوتا عام 1994.

هذه حقًا واحدة من الكلاسيكيات الحقيقية في كل شرح الرياضيات.

إنه يمشي من خلال هذه الطريقة المذهلة لقلب الكرة

من الداخل إلى الخارج باستخدام تشوه معين مستمر.

والسبب الذي يجعلني أذكر هذا الأمر لأي منكم شاهد

ذلك هو أن السياق هناك كان مختلفًا بعض الشيء.

كانت الظاهرة التي كانوا يحاولون تجنبها هي خلق تجاعيد وتجاعيد على الكرة أثناء العملية.

ولكن هنا، لأغراضنا نحن، لا نهتم حقاً بهذا الأمر.

ومع ذلك، هناك سمة واحدة للتشوه الغريب الناجم عن المجال المتجه الذي قد يكون مستحيلًا حقًّا.

لا تمر أي نقطة في الكرة بنقطة الأصل.

وهناك طريقة جميلة للغاية لمعرفة السبب في أن قلب الكرة من

الداخل إلى الخارج دون عبور نقطة الأصل لا يمكن أن يحدث أبدًا.

ربما تكون الطريقة الأكثر متعة لتوضيح ذلك هي باستخدام نموذج مادي.

تخيل نافورة في المنشأ تقذف الماء بشكل منتظم في

جميع الاتجاهات، لنقل بمعدل لتر واحد كل ثانية.

الطريقة التي أحركها هنا هي مجموعة من القطرات التي تتدفق بعيداً، لكن من حيث المبدأ،

أريدك أن تفكر في هذا كسريان مستمر لمائع غير قابل للانضغاط، شيء منتظم في كل

الاتجاهات، ومع عدم الانضغاط هذا، سنتخيل أن كثافة الماء عبر الفضاء كله تبقى ثابتة.

هذا مهم.

إذا كان لديك سطح موجه، مثل الكرة التي لدينا مع متجهات الوحدة العمودية

الخاصة بها، يمكنك قياس كمية المياه المتدفقة عبر هذا السطح لكل وحدة زمنية.

لدى الفيزيائيين اسم خاص لهذا الأمر.

ويطلقون عليه اسم التدفق، حيث يقيس التدفق على رقعة معينة من المساحة كمية

المياه التي تمر عبرها في الثانية الواحدة، وتحسبه موجبًا عندما يتدفق الماء

من الداخل إلى الخارج، بمحاذاة متجهات الوحدة العمودية للسطح، بينما يكون

التدفق سالبًا إذا كان يتجه في الاتجاه المعاكس، أي يتجه عكس تلك المتجهات العمودية.

عندما تجمع كل هذا على السطح بأكمله، فإن هذا يعطيك التدفق الكلي، والملاحظة الأساسية هي أن

هذا التدفق الكلي يجب أن يتطابق مع كمية الماء التي يتم إنتاجها داخل السطح، أي لتر واحد

في الثانية، والجزء الرائع هو أن هذا سيظل صحيحًا حتى لو قمت بتشويه أو تشويه الكرة قليلاً.

ويبقى هذا التدفق الكلي عند لتر واحد في الثانية، حتى لو تغير التدفق عبر رقعة

معينة من المساحة خلال العملية، والسبب الأساسي هو أننا نتعامل مع الماء على أنه

مائع غير قابل للانضغاط بكثافة منتظمة ثابتة عبر الفضاء، لذا فإن كل جزء صغير من

الماء الناتج عند نقطة الأصل يجب أن يلغى من خلال جزء صغير من الماء الخارج من السطح.

الأهم من ذلك، لكي يكون ما قلته للتو صحيحًا، يجب أن نحسب التدفق بعلامة.

على سبيل المثال، لنفترض أنك لويت الكرة بحيث تنطوي على نفسها نوعًا ما هكذا، ثم

ستلاحظ على طول خط معين، يخرج الماء من السطح ثم يعود إليه ثم يعود مرة أخرى.

لذا ستريد أن تحسب هذا الفيض موجبًا عندما ينتقل من الداخل إلى الخارج، وسالبًا

عندما ينتقل من الخارج إلى الداخل، حتى لا تحسب هذه الجسيمات ثلاث مرات مختلفة.

ومن هنا، ربما يمكنك أن ترى النقطة الأساسية التي أقصدها تجاه تناقضنا.

والطريقة الوحيدة التي يمكنك من خلالها تغيير التدفق الكلي

عبر سطح كهذا هي إذا كان جزء من هذا السطح يعبر نقطة الأصل.

على سبيل المثال، إذا قمت بسحبه إلى الجانب بحيث لا يتضمن

المصدر على الإطلاق، فإن التدفق الصافي سيكون صفرًا.

عدد جزيئات الماء المتدفقة إلى الداخل يساوي عدد جزيئات الماء المتدفقة إلى الخارج.

لذا مع وضع ذلك في الاعتبار، فكر في كل ما تحدثنا عنه.

إذا كان بإمكانك تعريف هذا الحقل الاتجاهي غير الصفري على الكرة الذي يتيح

لك إنشاء هذا التشوه الغريب الذي يقلب الكرة إلى الداخل، فماذا يحدث للتدفق؟

حسنًا، ما نعنيه بقلب الكرة من الداخل إلى الخارج هو أن جميع

متجهات الوحدة العمودية تشير إلى الداخل بدلًا من الخارج.

لذا، بالنسبة لأي رقعة معينة من المساحة، ينتقل التدفق عبرها عند نقطة ما من كونه موجبًا إلى

سالب، وبشكل عام، في النهاية، يجب أن ينتهي هذا التدفق الكلي عند سالب لتر واحد في الثانية.

ولكن في الوقت نفسه، إذا لم تعبر نقطة الأصل أبدًا، فلا يمكن أن يتغير التدفق الكلي أبدًا.

يبدأ عند موجب واحد، لذا يجب أن ينتهي عند موجب واحد.

هذا هو التناقض.

لا يمكن أن يوجد تشوه بهاتين الخاصيتين.

وها قد حصلت عليها.

من المستحيل وجود حقل متجه غير صفري متصل على الكرة.

لا يمكنك حقاً تمشيط كرة مشعرة.

لا أعرف عنك، لكنني أعتقد أن هذا جميل جداً.

غالبًا ما تكون الطوبولوجيا هي هذه اللعبة التي تكون فيها الحقائق التي

تبدو بديهية لها هذه الأمثلة المضادة المدهشة والمحبطة نوعًا ما، لكن

الرؤى الحقيقية والإبداع يأتي غالبًا من الجانب الآخر من العملة، حيث

تأخذ شيئًا يبدو بديهيًا، لكنك تجد البناء الذي يبرر حقًا سبب صحته بشكل أساسي.

الآن هناك المزيد لنقوله حول جعل الحجة التي عرضتها لك للتو صارمة تمامًا، وأيضًا

المزيد لنقوله حول كيفية تعميم هذا الأمر برمته على أبعاد أخرى وعدم تعميمه.

ولكن قبل ذلك، إذا سمحتم لي بتحويل التروس بالكامل لدقيقة هنا، أريد أن أخبركم عن

شيء تجريبي جديد سأبدأه هذا العام، والذي أفكر فيه كنوع من معرض التوظيف الافتراضي.

إذا ذهبت إلى موقع 3b1b.co/talent، ستجد مجموعة من الشركات التي تشترك في أمرين.

الأول، وهو في الأساس بحكم التعريف، هو أنهم مهتمون بالتوظيف من هذا الجمهور.

إنهم يقدرون هذا النوع من الفضول الرياضي والتقني الذي من الواضح أنه

موجود لدى شخص مثلك، والذي يشاهد مقطع فيديو مثل هذا من أجل المتعة.

إذا ذهبت واستكشفت الصفحة وشاهدت نوع الألغاز والتحديات والأعمال الفنية التي

اختارها كل واحد منهم لمشاركتها معك، ستشعر بسرعة كبيرة بالقيم المشتركة هنا.

والشيء الثاني المشترك بينهما هو أن الأشخاص الذين يعملون هناك يحبون حقاً ما يفعلونه.

وهذا الأمر مهم بالنسبة لي.

لقد كنت حريصًا جدًا على ذلك أثناء إعداد هذا الأمر برمته،

لأن كل هذا لا معنى له إلا إذا كان ذا قيمة فعلية للجمهور.

لذلك أخذت بعض الوقت للجلوس والدردشة مع الفرق الفنية في كل مجموعة،

ولم يكن الإدماج منطقيًا إلا إذا كان من الواضح أنهم يحبون ما يفعلونه.

وبشكل عام إلى حد كبير، كان السبب الأساسي الذي جعل الناس

يستمتعون بعملهم هو الاحترام الصادق لجميع زملائهم في الفريق.

على أمل أن يكون هذا الأمر مناسباً لك، أياً كنت، هناك مجموعة من أنواع

الوظائف المتاحة في مجموعة من المجالات، بما في ذلك الوظائف العليا،

والمهن الجديدة، والتدريب الداخلي، أو حتى وظائف التدريس بدوام جزئي.

لسياق أوسع، إذا كنت فضوليًا، فقد سجلت مقطع فيديو كاملًا على

القناة الثانية أشرح فيه سبب بدء هذا الأمر، وما هي الصفقة.

أحد الأشياء التي أذكرها هناك هو أنني أتطلع إلى إجراء بعض التعيينات بنفسي،

وكلما كان الأمر كذلك، سأقوم بتضمين صفحتي الخاصة في معرض الوظائف الافتراضي

هذا، حيث يمكنك الذهاب والعثور على وصف ما أبحث عنه وطلبات التوظيف.

سيتم تحديث الصفحة بأكملها مع مرور الوقت، لذلك حتى لو لم تكن تبحث عن وظيفة

الآن، ولكنك ستبحث عن وظيفة في وقت ما في المستقبل، تأكد من الاطلاع عليها.

حسناً، لنعد إلى نظرية الكرة المشعرة.

استندت الحجة في النهاية على فكرة التدفق بأكملها، والتي من المسلم به أنها

غير واضحة بعض الشيء دون مزيد من التفاصيل، لذا سأترك على الشاشة مجموعة من

التمارين التي توضح طريقة واحدة يمكنك من خلالها جعل هذا الأمر أكثر صرامة

إذا كانت لديك خلفية عن حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ونظرية التباعد.

هناك طريقة أخرى أعمق للوصول إلى نفس الفكرة الأساسية، وهي استخدام ما

يسمى بمجموعة التماثل، لكن هذه الطريقة بالتأكيد خارج نطاق عملنا اليوم.

النقطة الأخيرة التي أريد أن أترككم تتأملون فيها هي طبيعة الأبعاد الأخرى.

ليس من الصعب أن نلاحظ أنه يمكنك تمشيط الشعيرات الموجودة على دائرة رقيقة، على الرغم من أنه

لا يمكنك فعل ذلك بالنسبة للكرة، وبشكل عام فإن القاعدة هي أن الكرات في جميع الأبعاد

الزوجية يمكن تمشيطها، أما تلك الموجودة في جميع الأبعاد ذات الأرقام الفردية فلا يمكن

تمشيطها.

الآن ما يعجبني في الحجة التي تحدثنا عنها للتو في هذا الفيديو بأكمله هو أنها تقدم دليلاً

مباشراً جداً على سبب كون هذه هي القاعدة، على الأقل إذا كنت مرتاحاً لفكرة التوجه.

في جميع الأبعاد الزوجية، تكون الدالة التي تربط نقطة ما بسالبها دالة

تحافظ على الاتجاه، بينما في جميع الأبعاد الفردية، تكون دالة تعكس الاتجاه.

قد تستمتع بالتوقف للحظة للتفكير والتأمل في السبب في أن هذا يعني أن البرهان الذي

أوضحناه للتو يعمل في جميع الأبعاد الفردية، وعلى الرغم من أنه لا يخبرك صراحةً

أنه لا يمكن أن يعمل أي شيء في الأبعاد الزوجية، إلا أنه لغز ممتع لمعرفة ما إذا

كان بإمكانك بناء مثال صريح لحقل متجه غير صفري في جميع تلك الأبعاد الزوجية.

على سبيل المثال، كيف يمكنك تمشيط الشعيرات الموجودة على كرة فائقة في أربعة أبعاد.