[Traduit par Mathias Valla. Soumettez des corrections sur criblate.com]

Merci beaucoup.

Ça fait du bien d'être ici.

Je sais pas si vous vous rendez compte à quel point vous avez un beau campus,

franchement, vous étudiez au paradis.

Aujourd'hui, je veux vous parler de ce que je pense être une des

formules les plus sous-cotées, non pas parce que ceux qui la connaissent

ne l'apprécient pas, mais parce que trop peu de gens la connaissent.

Et surtout, trop peu de gens comprennent d'où elle vient.

Et, c'est vraiment une pépite.

Ça devrait être le e puissance pi i de la communauté mathématique.

Mais je veux vraiment que vous repartiez en sachant non seulement cette formule,

mais aussi pourquoi elle est vrai et ce qu'elle représente.

Avant d'entrer directement dans le vif du sujet,

je pense qu'on plante mieux le décor en commençant par ces deux énigmes.

La première énigme va juste nous donner une idée du sens de ce qu'on va faire,

parce que sinon ça risque de paraître assez abstrait.

Et ensuite, la deuxième énigme va être une sorte d'avertissement :

il ne faut pas trop faire confiance à nos intuitions.

Alors commençons par la première énigme.

ça sera notre échauffement pour aujourd'hui.

On va commencer par imaginer qu'il y a un nombre aléatoire.

Je vais l'appeler X.

Il sera compris entre moins un et plus un, choisi uniformément.

X va avoir un copain, un autre nombre aléatoire, Y,

choisi aussi uniformément entre moins un et plus un.

Et on va poser une question, une question de probabilité sur les deux :

quelle est la probabilité que, si on élève X au carré puis qu'on l'ajoute au carré de Y,

on obtienne quelque chose d'inférieur ou égal à un ?

Alors je lance ça au public.

Est-ce que quelqu'un veut lever la main et proposer la probabilité qu'en choisissant

ce X aléatoire, puis ce Y aléatoire, la somme de leurs carrés soit inférieure à un ?

Voyons voir.

Je vois une chemise bleue ici devant.

Oui, vous voulez répondre ?

[Public]: X au carré plus Y au carré, ça fait comme un cercle unité.

Donc je dirais que ça serait lié à l'aire du disque unité sur l'aire d'un carré unité,

en gros.

[GS]: Génial.

Je pose cette question, et tout de suite une image apparaît dans votre tête.

Et le point que je veux souligner, c'est que c'est une question analytique.

C'est juste une question sur deux nombres.

Si on est à l'aise en probabilités, on pourrait poser des intégrales sans réfléchir en

termes de géométrie et répondre à la question, mais ça ferait un peu l'effet d'un crime.

On sent bien que la question veut être représentée géométriquement.

La façon naturelle d'y répondre, c'est de voir cette paire de nombres,

X et Y, comme un point dans un espace à deux dimensions.

Et comme ça, quand on pense à un choix aléatoire de X indépendant d'un

choix aléatoire de Y, on choisit un point aléatoire à l'intérieur.

Eh ben, ici, c'est un carré qui va de X égal à moins 1 à plus 1.

Pareil pour Y.

Donc c'est un carré de 2 par 2.

Alors, si on sent autant le côté géométrique, c'est parce que cette contrainte,

X au carré plus Y au carré inférieur ou égal à 1,

ça veut dire qu'on est à l'intérieur d'un cercle.

Et on dit que si X carré plus Y carré est égal à 1, alors on tombe exactement sur le bord.

Ça suit directement du théorème de Pythagore.

On peut dessiner un joli petit triangle rectangle.

X donne un côté de l'angle droit, Y donne l'autre.

Et au final, on répond ici : l'aire de ce cercle divisée par l'aire du carré.

Tout ce qu'on a besoin de connaître, c'est l'aire d'un cercle.

Pi R au carré, c'est une de ces formules qu'on a apprises au lycée.

Donc on peut écrire pi divisé par 4.

Très bien.

Et ensuite, on peut monter d'un cran.

Je pourrais dire : et si, au lieu de choisir deux nombres aléatoires,

X et Y, ils avaient un troisième copain, Z ?

Même idée, uniforme entre moins 1 et 1.

On l'élève au carré.

On veut connaître la probabilité que la somme

de ces 3 nombres soit inférieure ou égale à 1.

Dans sa tête, on sent immédiatement que : hé,

maintenant c'est de la géométrie en trois dimensions.

Ça n'a pas besoin de l'être.

On pourrait y répondre de façon purement analytique,

mais ça semblerait quand même bizarre de ne pas l'illustrer comme une image

en trois dimensions.

Parce qu'ici, la contrainte X au carré plus Y au carré plus Z au carré inférieur à 1,

ça veut dire qu'on se trouve à l'intérieur d'une sphère unité.

Et donc ici, pour répondre à la question de probabilité,

on a juste besoin de savoir quel est le volume de cette sphère unité par rapport au

volume de ce cube de 2 par 2 par 2.

C'est encore une de ces formules que vous avez peut-être apprises au collège ou au lycée.

Le volume d'une sphère, c'est 4 tiers pi fois son rayon au carré.

Le rayon ici, c'est 1.

On fait tous les calculs, et on obtient, je crois, un peu plus de 50 %.

Bon, rien n'oblige à s'arrêter là.

Là, on a trois nombres, mais si j'en prenais quatre ?

À ce stade, notre imagination commence un peu à loucher,

parce que maintenant, c'est comme si on savait ce qu'on voulait voir :

de la même manière que le premier problème faisait penser à un cercle.

Celui-ci nous pousse à penser à l'équivalent d'un

cercle ou d'une sphère mais en quatre dimensions.

Mais encore une fois, c'est une question tout à fait raisonnable.

C'est une question très empirique.

C'est très concret, et on n'est pas obligé de s'arrêter là.

On pourrait dire : et si on avait 100 nombres différents,

qu'on additionnait tous leurs carrés, et que je voulais connaître la probabilité que

leur somme soit inférieure à 1 ?

Poser cette question, c'est un peu se forcer à vouloir

connaître le volume d'une boule unité en 100 dimensions.

Bon, ça peut paraître un peu bizarre.

Si on entendait un mathématicien dans la rue dire qu'il a trouvé

une formule pour les volumes des boules de grande dimension,

ça risquerait de sonner comme un truc complètement absurde.

Ça semble tellement déconnecté du réel, parce

qu'on a l'habitude de vivre en trois dimensions.

Mais le point que je veux souligner, c'est que la géométrie en dimension supérieure,

c'est réel.

Ce n'est pas parce que ça ne décrit pas un espace physique

au sens littéral que ça n'a pas une certaine utilité.

Bon, aujourd'hui, j'ai peut-être plus besoin de convaincre personne là-dessus,

parce que l'apprentissage automatique baigne dans la géométrie en grande dimension.

En gros, chaque fois qu'on représente quelque chose par une longue liste de nombres,

on peut choisir de l'interpréter comme un point dans un espace de grande dimension.

Et une des grandes leçons de la géométrie, c'est que c'est un choix qui marche bien.

Ça aide à résoudre les problèmes.

Ça rend plus simple certaines choses qui auraient été très dures autrement,

comme poser 100 intégrales différentes pour cette question de probabilité.

Je pense que je n'ai pas besoin d'insister là-dessus auprès de vous,

parce qu'aujourd'hui, on a des trucs comme les grands modèles de langage.

Et si on regarde sous le capot et qu'on se demande ce qui se passe vraiment quand on

interagit avec ChatGPT ou Claude ou Gemini, ou celui que vous préférez, eh ben au fond,

le mécanisme consiste essentiellement à découper tout votre texte en petits morceaux.

Et chacun de ces morceaux est transformé en une très, très longue liste de nombres.

Et on n'est pas obligé de voir ça comme un point dans un espace de grande dimension.

On peut juste se dire : ah, c'est juste une grande, longue liste de nombres.

Mais pour essayer de comprendre ce que font ces modèles,

c'est vraiment utile de voir ces longues listes de nombres

auxquelles les mots sont transformés comme des points dans un espace.

Quand on fait de la recherche pour interpréter ces trucs,

tout le langage tourne autour de points dans une sorte d'espace de grande dimension.

Tout ça pour dire que les grandes dimensions, c'est utile.

Mais ça pose un petit problème, parce que la géométrie

en grande dimension peut devenir très contre-intuitive.

Et la deuxième énigme ici, c'est vraiment un grand classique.

C'est le genre de chose où, je pense, tout le monde qui commence un cursus scientifique,

à un moment, en arrivant à l'université, devrait voir cet exemple comme une

sorte de conte de fée, quelque chose de trop beau pour être vrai.

Donc voilà le setup.

On va de nouveau prendre un carré 2 par 2 centré à l'origine,

qui va de x égal à moins 1 à y égal à plus 1.

Je vais mettre un cercle à chacun de ses coins.

Donc les coins sont en 1, 1 ; moins 1, 1 ; moins 1, moins 1 ; et ainsi de suite.

Je vais mettre un cercle de rayon 1 sur chacun d'eux.

Et donc, par définition, ces cercles dans les coins ont un rayon de 1.

Et la question que je vais poser, c'est : si on leur donnait un autre copain,

un cercle à l'intérieur, qui est aussi grand que possible tout

en étant tangent à tous les autres par l'extérieur ?

Quel est le rayon de ce cercle intérieur ?

Juste une question de géométrie, juste une petite énigme.

On est encore dans la phase d'échauffement.

Encore une fois, est-ce que quelqu'un veut lever la main et proposer une réponse ?

Très bien, on a une main levée par là.

[Public]: On peut regarder la diagonale, calculer la longueur de ce truc,

puis en retirer deux fois le rayon.

[GS]: J'adore.

On va donc regarder la diagonale entre l'origine et le coin de ce cube.

Et ça donne racine carrée de... bon, ici, les côtés valent 1 et 1.

Donc racine carrée de 1 au carré plus 1 au carré, cette distance vaut racine de 2.

Et ensuite, on retire le rayon de ce cercle extérieur.

On retire le 1 qui était, par définition, le rayon.

Donc la réponse, racine de 2 moins 1, si on fait le calcul,

ça fait à peu près 0,4.

En regardant l'image, vous vous dîtes, je sais pas, ça a l'air plausible.

Pourquoi est-ce que c'est une question intéressante ?

Attendez, attendez, attendez, vous allez voir, vous allez voir.

Donc là, on peut passer à trois dimensions, et on va faire la même construction.

On va avoir une boule unité à chacun des coins.

Donc dans ce cas, on va avoir non pas quatre, mais huit sphères unité différentes.

Chacune a un rayon de 1.

Elles sont posées sur tous les coins.

Et on va jouer au même jeu.

Je dis, introduisons une nouvelle sphère centrée à l'origine, aussi grande que possible,

c'est-à-dire assez grande pour être tangente à ces huit sphères extérieures.

Même question : quel est le rayon de cette sphère intérieure ?

Dans ce cas, est-ce que quelqu'un veut lever la main,

proposer une réponse pour le rayon de celle-ci ?

Oui, devant ?

[Public]: Racine de 3 moins 1.

[GS]: Racine de 3 moins 1.

D'accord, donc on dit racine de 3 parce qu'on comprend

le théorème de Pythagore en trois dimensions.

Je vais peut-être détailler un peu ce point.

Excusez-moi si je vous dis quelque chose que vous savez déjà.

Je veux vraiment insister sur pourquoi la formule de la distance est ce qu'elle est.

Parce que le résultat auquel je vais arriver est tellement contre-intuitif que,

quand je l'ai mis en ligne, il y a eu des commentaires du genre :

peut-être qu'en dimensions supérieures, la distance ne marche tout simplement pas

comme on pense.

Ce que je veux souligner, c'est que tout découle

simplement de la règle en deux dimensions.

Donc si on a un cube unité, on peut faire le même

jeu du théorème de Pythagore en deux dimensions.

Parce qu'avec cette diagonale d'une face carrée,

on peut en faire un côté d'un nouveau triangle rectangle,

dont l'autre côté est cet axe z.

Et à partir de là, on applique le théorème de Pythagore habituel en deux dimensions.

Donc on ne donne pas à l'espace 3D une nouvelle règle.

C'est plutôt qu'il hérite de la règle de tous ses sous-espaces bidimensionnels.

On fait le calcul, et on obtient racine de 3.

Donc ici, ça veut dire que la réponse finale, c'est racine de 3 moins 1.

Là encore, on fait le calcul, ça donne à peu près 0,7.

On se dit : ça a l'air raisonnable.

Mais alors, pourquoi c'est intéressant ?

Continuons à monter.

En quatre dimensions, je sais pas comment dessiner un cube en quatre dimensions.

Là, c'est ma meilleure tentative.

Ça ressemblerait à un cube, mais avec un autre cube au dessus,

et des lignes qui relient les sommets.

Mais bref on sait calculer la distance.

Exactement la même logique va nous faire monter encore d'un cran :

on dessinerait alors un triangle rectangle en deux dimensions,

dont un côté vaut racine de 3, la diagonale d'un cube unité.

Et ensuite on monte dans une quatrième direction.

Alors celui-là est assez mignon, parce que la distance jusqu'au

coin vaut racine carrée de 4, donc c'est un nombre entier : 2.

Et dans ce cas, quel que soit l'aspect qu'aurait ce schéma en quatre dimensions,

il a 16 coins différents, 16 boules unité différentes.

Un truc vraiment sympa en quatre dimensions, c'est

qu'une boule unité rentre pile au milieu de tout ça.

Donc ça donne une petite intuition de ce à quoi peut

ressembler un empilement de sphères en quatre dimensions.

Là où ça devient plus intéressant, c'est si on réfléchit au cas général.

Si on dit : bon, pas seulement en trois ou quatre dimensions,

mais en n dimensions, à quoi ça ressemblerait ?

La distance jusqu'au coin de ce cube va être de la forme racine carrée de n.

Et on soustrait toujours le rayon de la sphère du coin, qui vaut par définition 1.

Donc par exemple, en dix dimensions, ça donne racine de 10 moins 1, soit à peu près 2,16.

Si on regarde juste ça en hochant un peu la tête devant les formules, on peut se dire :

bon, ça a l'air raisonnable, j'imagine que c'est comme ça que les choses sont.

Mais ça devient vraiment, vraiment bizarre quand on

essaie de l'interpréter géométriquement et physiquement.

Parce que voilà ce que je vais faire.

Je vais dessiner une nouvelle boîte autour de tout le dessin qu'on avait.

Donc avant d'introduire ce cercle central, je vais dessiner

cette boîte de 4 par 4 par 4 tout autour de tout ça.

Et si en deux dimensions je disais : remarquez que le cercle intérieur est

à l'intérieur de tout ça, ou si en trois dimensions la sphère intérieure

est à l'intérieur de toute la boîte englobante, vous diriez : ba oui,

évidemment, enfin, on a l'impression que par définition, elle doit être dedans.

Mais le côté bizarre, c'est la distance entre l'origine et le bord de cette

boîte englobante : comme elle fait 4 par 4, on obtient 2 pour atteindre ce bord.

Donc si on dit qu'en dimension 10, quel que soit l'aspect qu'aurait ce dessin

avec ses 2 puissance 10 coins différents, plein de petites boules unités là-haut,

et une sorte de sphère intérieure qui grandit,

cette sphère intérieure est en fait nettement plus grande que toutes les

sphères des coins.

Elle est même plus grande que cette grande boîte.

Elle la dépasse carrément.

Là, c'est vraiment bizarre.

Et c'est tellement bizarre qu'il y a cette expression courante que j'ai

entendue chez d'autres personnes qui présentent ce problème :

elles disent que ça implique que les sphères de grande dimension sont très pointues.

Je sais pas si certains ont déjà entendu cette intuition qui dirait :

oui, les sphères de grande dimension sont pointues.

Je déteste cette phrase.

Parce que c'est faux.

Elles sont très rondes.

Elles sont rondes parce qu'elles sont définies comme rondes.

Qu'est-ce qu'une sphère en grand nombre de dimensions ?

C'est l'ensemble des points qui sont à une distance donnée de l'origine.

Donc elle est aussi ronde qu'on peut l'être.

Les sphères, c'est pas le problème.

C'est contre-intuitif, mais les sphères, elles vont très bien.

Vous savez c'est qui, le problème ?

Ce sont les cubes.

Les cubes sont bizarres en grande dimension.

A minima disons qu'ils défient notre intuition.

Parce que ce qui se passe vraiment dans cet exemple,

c'est qu'on a ce cube de très grande dimension où,

pour aller de l'origine jusqu'au bord, ce point à partir duquel une sphère

de grande dimension à l'intérieur pourrait dépasser — disons que c'est une

boîte de deux par deux — il suffit juste d'une distance de 1 pour atteindre

le bord de cette boîte de deux par deux.

Mais pour atteindre le coin, c'est en fait bien plus long.

Parce qu'en dimension 10, pour atteindre ce coin,

on doit avancer dans la première dimension, puis la deuxième,

puis la troisième, puis la quatrième, puis la sixième, et ainsi de suite, 10 fois.

Bon, même si on ne fait pas des pas perpendiculaires et qu'on prend le raccourci en

allant tout droit, vous voyez, le raccourci ne peut aider que jusqu'à un certain point.

Donc on gagne un facteur racine carrée, mais pas mieux que ça.

Du coup, l'image très approximative que j'ai en tête pour les cubes de grande

dimension — à prendre avec des pincettes — c'est quelque chose comme ça,

où les coins sont juste beaucoup, beaucoup, beaucoup plus loin que le bord.

Encore une fois, à prendre avec des pincettes,

parce que c'est pas comme si leurs côtés étaient courbés,

mais on force juste cette intuition à rentrer dans deux dimensions.

C'est ce qu'on est obligés de faire.

Donc pour cet exemple, si on essaie de voir ce qui se passe,

quand on met ces sphères unité aux coins, ces sphères unité sont juste super loin.

Elles sont vraiment genre, vraiment très loin.

Donc quand on a celle de l'intérieur qui grossit jusqu'à

être tangente à toutes celles-là, elle doit devenir énorme.

Bon, cette image est encore pas tout à fait juste,

parce que je la force en deux dimensions et je montre seulement quatre coins,

alors qu'il y en a énormément.

Il y a 2 puissance n coins différents.

Donc la nouvelle image schématique qu'on peut avoir ici, c'est quelque chose où,

au lieu d'avoir seulement ces quatre coins, on en a tout un tas.

Donc, très vaguement, voilà l'image qu'on peut garder en

tête pour comprendre ce qui se passe dans cet exemple.

Donc la sphère intérieure déborde bel et bien,

mais d'une certaine façon elle reste quand même contenue par tous ces coins.

Tout ça pour dire que la géométrie en grande dimension,

malgré toute son utilité, est malheureusement très contre-intuitive.

Et je pense qu'encore mieux, il faut dire qu'elle risque d'être contre-intuitive.

Je pense que si on trouve les bonnes façons de penser ces formes,

elles peuvent en fait devenir nos alliées.

Et c'est ça qui nous amène au vrai sujet.

La vraie raison pour laquelle on est tous là.

J'ai pas envie de parler du fait que c'est réel et utile.

J'ai même pas envie de parler du fait que c'est contre-intuitif.

J'ai envie de parler de quelque chose de complètement beau,

propre aux sphères de dimension supérieure.

Et c'est cette formule à laquelle je faisais référence.

Ce qu'elle va décrire, c'est le volume d'une boule

dans un plus grand nombre de dimensions.

On peut se concentrer sur une boule de rayon 1,

mais il suffit d'ajouter un R à la fin si on veut.

Donc on va y venir progressivement.

On va parler d'où vient cette formule.

Je veux que vous voyiez ça, comme quelque chose dont vous ayez

vraiment l'impression que vous auriez pu le découvrir par vous-même.

Et pour en arriver là, je pense que ça vaut le coup de passer un

peu de temps avec les choses qu'on connait déjà,

c'est-à-dire les formules utiles qu'on a peut-être déjà croisées à l'école.

Et donc, il y en a quatre principales ici.

On a la circonférence d'un cercle.

Donc là, on mesure la circonférence en deux dimensions.

Et ça vaut 2 pi fois le rayon.

C’est en fait la définition même de pi.

Donc après ça, tout le reste se déduit.

Mais celle-là, on peut la considérer comme une définition.

C’est même ça que veut dire la constante pi.

Maintenant, en dessous, je vais écrire pi R au carré.

Ça mesure l’intérieur du disque.

Donc toujours en deux dimensions, l’intérieur, notre bon vieux pi R au carré.

En trois dimensions, le bord, c'est l’aire de surface, ça donne 4 pi R au carré.

Très amusant.

Très suspect, parce que c’est exactement quatre fois le cercle.

Donc ça vaut peut-être le coup d’y revenir.

Et puis l’intérieur, le volume d’une sphère, c’est 4 tiers pi R au cube.

Donc ça, c’est les formules qu’on a peut-être déjà vues.

Je vais les mettre dans un tableau.

Et notre but aujourd’hui, c’est en gros de remplir ce tableau.

Donc la façon dont j’organise ça, c’est que je vais noter la ligne du bas B^n,

pour dire une boule en n dimensions.

Donc par exemple, une boule en deux dimensions, c’est un disque.

Une boule en trois dimensions, c’est ce qu’on appellerait normalement juste une boule.

Mais on va s’en servir comme terme très général dans toutes les dimensions.

Et puis au-dessus, je vais noter les choses avec ce petit delta,

qu’on utilise souvent pour dire partiel.

Donc ça, c’est juste un peu de notation.

Ici, ça ne veut pas dire partiel.

Ça veut en fait dire le bord, la frontière.

Donc le bord d’une boule en n dimensions.

Donc le bord d’une boule en deux dimensions, c’est le cercle.

En trois dimensions, c’est la surface de la sphère.

La notation, qui ressemble un peu à un petit "d",

ça donne un petit côté calcul intégral et différentiel.

Je pense en fait que c'est utile pour une règle importante de ce tableau.

Je veux que vous y réfléchissiez un peu, parce que je sais que vous avez

tous probablement déjà vu un peu de calcul différentiel dans votre parcours.

Je veux que vous réfléchissiez au lien entre la ligne du bas et la ligne du haut.

Et encore une fois, je vous donne juste ça.

Quelqu'un veut lever la main et dire un peu quelle est la relation ?

Donc juste ici.

Oui.

[Public]: C'est une dérivée, non ?

[GS] : Combien parmi vous ont trouvé ça très amusant la première fois ?

Je sais pas.

Peut-être que c'est la première fois que vous voyez ça.

La première fois que j'ai vu ça, je me souviens que je me suis dis : c'est bizarre.

Pourquoi est-ce que c'est vrai ?

Là, j'étais juste un petit étudiant en analyse,

sans doute sans intuition assez profonde de tout le domaine.

Mais il y a une très bonne raison pour laquelle c'est vrai,

liée au sens même d'une dérivée.

Donc si on se demande ce que ça voudrait dire de dériver la formule de l'aire,

on dit en gros : supposons qu'on augmente le rayon d'un cercle d'une petite quantité,

un petit dr.

De combien est-ce que cette aire a changé ?

Quel est le changement obtenu pour cette aire, qu'on pourrait appeler dA ?

Et ce que ça dit, c'est qu'approximativement, c'est à peu près

la circonférence de ce cercle multipliée par ce petit dr.

Là, c'est faux si on interprète dr et dA comme des quantités littérales,

comme un vrai tout petit décalage, comme le ferait un physicien en fait.

Mais l'idée, c'est que ça devient de moins en moins faux quand

on fait tendre ce dr vers des valeurs de plus en plus petites.

Je suis plutôt partisan du point de vue du physicien.

Et je dis pas ça de façon péjorative.

En fait, je pense que c'est comme ça qu'on devrait tous l'enseigner.

Mais techniquement, ça voudrait dire que ce n'est pas vraiment une équation.

C'est quelque chose qui devient de moins en moins faux quand on fait tendre

ce petit dr vers quelque chose de proche de zéro, ou plutôt vers zéro même.

Et la même intuition dans l'autre sens, c'est essentiellement qu'on peut

voir l'intérieur du cercle comme l'intégration de tout un tas de frontières.

Et quand on intègre tous ces bords qui croissent proportionnellement à r,

faire cette intégrale, ça revient à transformer le r en r au carré et à diviser par deux.

Cette division va être très importante pour nous.

Donc retenez-la.

C'est pareil en trois dimensions, juste pour tout énoncer.

On a une boule.

Si on regarde son volume et qu'on veut connaître son taux de variation,

une très bonne façon d'y penser, c'est de se dire qu'il repose sur l'aire de la surface

de cette sphère.

On se demande : quel est le petit changement de

volume causé par un petit changement du rayon ?

Eh ben, c'est à peu près l'aire de cette couche

multipliée par l'épaisseur qu'on lui donne.

Bon, dit comme ça, c'est faux si on remplace le petit dr par une valeur numérique précise.

Mais ça devient de moins en moins faux si on fait rétrécir

dr encore et encore jusqu'à se rapprocher de zéro.

Et inversement, on peut aussi le voir comme l'intégration d'un tas de couches,

et intégrer le r au carré le transforme en un tiers de r cube.

Et ce un tiers est important.

Cette idée que l'intégration nous donne cette division va être très importante.

Donc on sait comment monter et descendre dans ce tableau.

C'est ça, le plus important.

Si on connaît quelque chose sur la ligne du bas, on peut remonter d'un cran.

Maintenant, la vraie question, c'est : comment est-ce qu'on va à gauche et à droite ?

Et avant d'aller dans la direction intéressante,

vers toutes les dimensions supérieures, regardons un peu ce qu'il se passe dimension 1,

parce qu'on fait beaucoup de géométrie en deux dimensions.

On fait beaucoup de géométrie en trois dimensions.

La géométrie en une dimension est toujours un peu laissée de côté,

et c'est peut-être parce qu'elle est un peu moins marrante.

Mais prenez un instant pour réfléchir : quel devrait être

le volume de l'intérieur d'une boule en une dimension ?

Quelqu'un veut proposer une réponse ?

Quelle devrait être la formule pour une boule en une dimension ?

Oui, ici.

[Public]: Est-ce que ce serait juste une constante

parce que c'est un peu comme une ligne ?

[GS]: Eh ben, ça va être...

C'est bien une ligne, mais ça ne va pas être une constante,

parce qu'on veut raisonner par rapport à un rayon.

Donc quand on augmente ce rayon...

[Public]: 2 fois r.

[GS]: Oui, exactement.

2 fois r.

Alors, qu'est-ce qu'une boule en dimension 1 ?

Eh ben, c'est l'ensemble des points à une distance au plus r d'un certain point central.

Au final, ça ressemble à une ligne.

Et de la même façon qu'en dimension 2, ce qu'on mesure comme volume,

c'est l'aire en dimension 3

c'est notre sens habituel du volume.

Ici, ce que j'entends par le volume d'une boule de dimension 1,

en prenant le mot volume au sens général dans toutes les dimensions,

c'est juste la longueur, et la longueur vaut 2r.

Et ce qui est amusant ici, c'est que si on suit aveuglément la règle qui

consiste à prendre une dérivée pour obtenir ce qu'il y a en haut,

on arrive à l'idée que le volume du bord d'une boule de dimension 1 vaut 2.

Ce qui semble bizarre au début, parce que qu'est-ce que c'est,

le bord d'une boule de dimension 1 ?

On y réfléchit et on se dit : eh ben, c'est juste deux points distincts,

et que devrait être un volume de dimension 0 ?

J'imagine que simplement compter ces points, ça se défend autant

que n'importe quoi d'autre, en tout cas, ça suit le même schéma.

Donc ça nous rassure un peu, et ce sera un thème général pour la suite.

Quelque chose qui paraît un peu suspect au début,

mais qui suit le schéma, ça nous donne un sentiment rassurant, au fond.

Bon, évidemment, je sais que vous voulez voir comment on avance vers la droite.

Comment est-ce qu'on passe à ces dimensions plus grandes ?

Mais pour bien se lancer, j'ai envie de m'attarder encore

un peu sur l'origine exacte de ces formules en dimension 3.

Parce que la logique qui nous permet de comprendre, par exemple,

l'aire de la surface d'une sphère va en fait nous emmener encore plus loin si on y pense

de la bonne manière.

Donc j'ai évoqué le fait qu'une sphère est un peu suspecte,

parce qu'elle a une aire exactement égale à quatre fois celle d'un cercle.

Et là, on peut se demander : d'où ça vient ?

Pourquoi est-ce qu'on obtient une formule aussi jolie ?

Et il y a une manière vraiment élégante de penser cette aire,

qui remonte à très très loin en arrière.

Ça remonte jusqu'à Archimède.

Et il a eu cette idée très astucieuse : on peut penser à l'aire de la

surface d'une sphère en imaginant qu'on prend tous ces petits morceaux

dessus et qu'on les projette sur un cylindre qui entoure cette sphère.

Alors, on pourrait se dire que cet acte de projection,

avec la déformation que ça implique, est quelque chose de tellement violent

que ça change l'aire.

Evidemment, ça devrait changer l’aire.

Mais Archimède a très astucieusement fait remarquer que si on prend un

petit rectangle d’aire sur cette sphère et qu’on imagine ce qui lui arrive

quand on le projette sur ce cylindre, il y a deux effets qui se compensent.

À la fin, ce n’est pas la même chose.

Mais en fait, ça s’étire dans une direction.

Sauf qu’ensuite, comme c’est en quelque sorte l’ombre de quelque chose vu en biais,

ça se retrouve comprimé dans une autre direction.

Et ces deux effets s’annulent en fait parfaitement.

Et ce n’est pas trop dur de comprendre pourquoi, d’ailleurs.

Alors, réfléchissons à de ces petits morceaux.

On va découper la sphère.

On va donner des noms aux choses.

Disons que le rayon de la sphère entière, c’est grand R.

Et puis la distance entre l’axe z et notre petit rectangle particulier,

je vais l’appeler petit d.

De combien est-ce qu’il s’étire, disons en bas, en fonction de grand R et de petit d ?

Et ici, on peut dessiner deux triangles semblables différents.

On peut regarder le triangle isocèle dont la pointe est sur ce point de l’axe z.

Et sa base, c’est la base d’origine de ce petit rectangle.

Et ensuite on se dit : prenons un nouveau triangle dont la base est

la version projetée de ce petit rectangle qui était sur la sphère.

Et quand on le projette, on obtient un triangle semblable.

Et comme ils sont semblables, les rapports de tous leurs côtés doivent être les mêmes.

Donc en particulier, on sait que le rapport des grands

côtés de ces triangles isocèles va être grand R sur d.

Donc ça doit aussi être le rapport de ce petit côté,

autrement dit le facteur par lequel ça s’étire dans cette direction quand on projette.

Maintenant, qu’en est-il de l’autre déformation, dans l'autre sens ?

Là, l’idée, c’est qu’on pense un peu à une ombre.

Donc la hauteur de ce rectangle ressemble à cette ligne diagonale ici.

Et ensuite, elle est projetée sur quelque chose

de perpendiculaire à la direction de projection.

Alors, par quel facteur est-ce que

ça change l’échelle ?

On peut faire une petite chasse aux angles sympa pour voir que ce

petit triangle rectangle bleu que j'ai dessiné, qui montre ce facteur de projection,

est en fait semblable à ce triangle rectangle marron,

qui a encore pour longueurs de côtés le petit d et pour hypoténuse R.

Donc, pour le trouver, on suit juste quelques angles, on voit ce qui doit être égal,

et on finit par déduire que ceux-là doivent être les mêmes.

Et au final, ça nous dit que le facteur par lequel c'est écrasé dans l'autre direction,

c'est ce même R divisé par d.

Donc, quand on fait ça à tous les petits rectangles,

chacun est étiré dans une direction, écrasé dans l'autre.

Mais l'idée, c'est que ça préserve l'aire.

Et comme ça préserve l'aire, on a juste à se demander quelle est l'aire du cylindre,

ce qui est bien plus simple.

Parce qu'avec un cylindre, on peut juste le dérouler.

On peut en gros imaginer qu'on le découpe comme une feuille de papier,

qu'on le déroule, et on obtient un rectangle dont un côté

vient de la circonférence de cette sphère, soit 2 pi R.

Et l'autre côté, lui, vient juste de la hauteur sur l'axe z, donc 2 fois R.

Quand on multiplie les deux, on obtient 4 pi R au carré.

Donc voilà d'où vient cette formule, ou en tout cas une manière de voir d'où elle vient.

Et puis comme je l'ai dit, si on est sur une ligne de ce tableau,

on peut simplement prendre des dérivées et des intégrales pour remonter et redescendre.

Donc, connaître l'aire de surface suffit pour donner le volume à l'intérieur.

Maintenant, voilà la question clé.

C'est quelque chose de très malin qu'Archimède a fait.

Je ne sais pas si Archimède a déjà pris un moment pour penser

aux boules de dimension quatre, ou aux boules de dimension cinq.

Mais si ça lui est arrivé, j'imagine qu'il a pu se demander :

est-ce qu'il y a un moyen de généraliser ce très bel argument pour parler

de la frontière d'une boule de dimension trois et de la façon de la mesurer ?

Comment est-ce qu'on généralise ça ?

Et je veux que vous y pensiez un instant, parce que c'est vraiment le

cœur de tout ce dont on va parler aujourd'hui :

prendre cette idée astucieuse d'Archimède, mais l'utiliser d'une

manière ou d'une autre pour nous permettre de faire des pas vers la

droite dans notre tableau.

Et ce que je veux vous convaincre, c'est qu'en fait,

la bonne manière de comprendre ce que faisait vraiment Archimède,

c'est qu'il faisait un déplacement en L dans le tableau.

Ça peut paraître un peu bizarre.

Alors, je m'explique.

Donc, c'est un déplacement en L, qu'on peut voir comme combiné avec ce facteur 2 pi r.

Parce que si on pense à ce cylindre déroulé et qu'on se demande :

d'où venaient ces deux longueurs de côté ?

On multipliait deux quantités.

D'où venaient-elles ?

L'une d'elles, en haut, venait de la frontière d'une boule de dimension deux,

c'est-à-dire un cercle.

C'était notre 2 pi r.

Et même si au début on peut juste se dire : oh, cet autre côté,

c'était un segment, parce qu'au départ c'était un segment.

Je veux essayer de vous convaincre que la bonne façon de voir cet autre côté,

c'est comme une boule de dimension 1.

C'est l'intérieur d'une boule de dimension 1.

Et voilà ce que je veux dire.

Donc là, on pense à une sphère de dimension 3.

C'est quoi ?

Qu'est-ce que ça veut dire, être sur le bord d'une sphère de dimension 3 ?

Eh ben, en coordonnées, ça veut dire qu'on prend trois nombres, x, y et z.

Et tant que la somme des carrés de ces nombres vaut un,

ça veut dire qu'on est sur le bord d'une sphère.

Là, on pourrait dire : supposons que je vous demande,

eh, donnez-moi un point sur le bord d'une sphère.

Une façon de faire, c'est un peu bizarre, mais on peut faire comme ça :

d'abord, je vais choisir ma valeur de z.

Et tant que z au carré est inférieur ou égal à un, ça ira.

Ça va me laisser assez de marge pour trouver un x au carré et un y au carré.

Et ensuite, une fois la valeur de z choisie, on a tout

un cercle de possibilités pour x au carré et y au carré.

Ça va être tous les points tels que la somme de

ces carrés vaut un moins la valeur de z au carré.

Bon, d'habitude, on ne peut pas utiliser ce genre de découpage pour faire

un joli calcul d'aire, parce qu'il y a cette dépendance :

la taille de la valeur z influe sur la taille du cercle de possibilités qui reste.

Donc on ne peut pas juste prendre la longueur de ce segment sur l'axe des z et

la multiplier par la taille de ce cercle, parce que ce cercle change de taille.

Et en fait, c'est vraiment pas évident, même si on maîtrise bien le

calcul multivarié et qu'on veut tout mettre en place et expédier ça.

C'est vraiment pas évident de voir comment relier ces deux nombres.

Mais l'idée centrale d'Archimède, c'était en gros de dire : on n'a pas besoin de faire ça.

Bon, avant de dessiner ça, en fait, je veux reprendre le même

schéma où on fait varier z au carré et où ça influe sur x et y.

Mais je veux montrer la même animation d'une façon

qui va se généraliser au cas en dimension 4.

Comme ça, représenter cette image en dimension 3 ne dépendra pas de moi.

En gros, quand on éloigne z de zéro, ça resserre ce cercle.

Et on a cette dépendance entre la valeur de z qu'on

a choisie et le cercle de possibilités qui reste.

OK, donc qu'est-ce qu'a fait Archimède, en gros ?

Il a dit : en fait, ça va revenir au même que s'il n'y avait pas de dépendance,

comme si on prenait ces cercles d'options et qu'on les projetait simplement.

Donc pour toutes les valeurs différentes de z, on obtiendrait un cercle unité.

C'est ça qu'on appelle un cylindre.

Si on est à l'aise avec le langage de la théorie des ensembles,

on peut dire que ce cylindre est un produit cartésien entre le segment et puis le cercle.

Et ce qui est vraiment chouette avec un produit comme ça,

où ce qui se passe sur l'un de ces ensembles est complètement indépendant de l'autre,

c'est que si on veut calculer l'aire, ici, on peut juste multiplier ces deux nombres

grâce à cette indépendance.

Donc ce que je veux dire par faire un déplacement en L ici,

c'est que si on prend l'intérieur d'une boule unidimensionnelle et que chacune est

en quelque sorte transformée en cercle, projetée vers l'extérieur, alors,

grâce à cette idée archimédienne, c'est assez indépendant pour qu'on puisse multiplier

ces deux nombres sans risque.

Alors, à quoi ça va ressembler en quatre dimensions ?

OK, donc on va introduire des nouvelles notations.

On pourrait dire que le bord d'une boule tridimensionnelle ressemble à l'intérieur d'une

boule unidimensionnelle fois le bord d'une boule bidimensionnelle, donc juste un cercle.

OK, je prends.

Voilà à quoi ça ressemble en quatre dimensions.

On va dire que le bord d'une boule quadridimensionnelle va ressembler au produit de

l'aire de l'intérieur d'une boule bidimensionnelle par un cercle, encore une fois.

Et encore, pensons en termes de coordonnées.

Pourquoi est-ce que ça a du sens ?

Qu'est-ce qu'on entend par le bord d'une boule quadridimensionnelle ?

Eh ben, on veut dire tous les points x, y, z, w — on a quatre

coordonnées maintenant — pour lesquels la somme de leurs carrés vaut un.

Une façon de choisir un tel point sur ce bord,

ce serait d'abord de choisir un z et un w, et pour que ça donne une option valable,

il suffit que la somme de leurs carrés soit inférieure ou égale à un.

Si c'est le cas, ça ira.

On aura un certain choix pour x et y.

Et après ça, il nous reste un cercle d'options :

il faudra que x au carré plus y au carré soit égal à cette quantité

qui dépend de z et de w.

Et au départ, ça veut dire qu'on ne peut pas juste

multiplier ça naïvement à cause de cette dépendance.

Donc l'équivalent de l'animation qu'on avait tout à l'heure,

ce serait en gros de dire que si le choix de z et w était plus éloigné de l'origine,

ça resserrait le cercle d'options qu'il nous restait.

Et en général, c'est loin d'être évident d'utiliser ce genre de relation pour dire :

comment est-ce qu'on va calculer le volume du bord de cette boule

quadridimensionnelle en utilisant cette décomposition ?

Mais l'idée astucieuse, c'est que cette même idée archimédienne,

où on prend divers points avec une valeur constante de z et où on

les projette sur un cylindre, la même logique continue de marcher.

Mais ici, au lieu d'une valeur constante de z,

on choisirait des valeurs constantes de z et de w,

mais on prend quand même l'ensemble des options en x et y et on les

projette sur quelque chose de rayon un.

On aura toujours le même effet : ça étire dans une direction,

mais ça tasse dans une autre, et les rapports font que ces deux effets s'annulent

parfaitement.

Et par rapport à ce qu'on a à l'écran ici, ça veut dire en gros

qu'on peut faire comme s'il n'y avait pas de dépendance en z et w.

Pour ce qui est du calcul de volume, on peut juste prendre l'intérieur du cercle,

puis le multiplier par le bord du cercle.

Et ça, pour moi, c'est vraiment très étrange à imaginer,

parce que le produit de l'intérieur d'un cercle et d'un cercle comme ça,

ça va donner un donut plein.

Donc, alors qu'Archimède projetait sur un cylindre,

d'une certaine façon la version en quatre dimensions d'Archimède

imaginerait projeter son hypersphère sur un donut qui enferme la sphère.

Moi non plus, j'arrive pas à visualiser ça, mais on peut faire

l'analyse et en conclure que c'est forcément ce qui se passe.

Donc dans notre tableau, on refait encore un déplacement en L,

mais cette fois on décale tout.

Quel est le volume du bord d'une sphère en quatre dimensions ?

Eh ben, on prend ce pi r au carré, on le multiplie

par deux pi — ou plutôt par deux pi r — et voilà.

De toute évidence, ce volume ressemble à deux pi au carré fois r cube.

C'est plutôt amusant, parce qu'on a récupéré un facteur pi en plus.

Vous ne vous y attendiez peut-être pas.

Et encore une fois, une fois qu'on a quelque chose dans une colonne de ce tableau,

il suffit de prendre des dérivées et des intégrales pour monter et descendre.

Donc si on veut connaître le volume d'une hypersphère — ou plutôt son équivalent

en quatre dimensions — , il suffit de prendre une intégrale pour descendre.

Dans ce cas, intégrer r cube, ça revient à en faire un r puissance 4 puis à diviser par 4.

Donc, en ce qui concerne la constante, ce qu'on a fait ici,

c'est essentiellement diviser par 4.

Encore une fois, cette division va être très importante.

Et donc on arrive à cette conclusion où, de toute évidence,

le volume d'une boule de dimension 4 ressemble à pi au carré sur 2 fois r puissance 4.

Bon, ça, c'est très joli.

C'est une formule assez élégante.

Et peut-être que vous ne me croyez pas.

Peut-être que vous vous dites : je sais pas, Grant,

tu es en train de m'embrouiller d'une manière ou d'une autre.

Genre, je sais pas si cette astuce d'Archimède marche vraiment forcément.

Peut-être que vous êtes sceptique à propos de l'étape d'intégration.

Mais je veux redire ceci : c'est pas juste un

truc qu'on affirme et qu'on ne peut pas vérifier.

C'est une question empirique.

Si on veut vérifier si c'est vrai, si on a bien fait les maths,

ce ne serait pas une preuve, mais on pourrait simplement aller lancer une simulation.

On peut poser la question de probabilité qu'on avait au début.

Allez écrire ça dans votre langage de programmation préféré, peu importe lequel.

On doit choisir quatre nombres aléatoires entre moins un et un.

On additionne leurs carrés et on échantillonne juste les cas où

la somme de ces carrés finit plus grande ou plus petite que un.

Et ce qu'on trouve, c'est que la réponse numérique colle de très, très près,

de plus en plus quand la simulation grandit, avec la formule que je viens de vous donner.

Ce joli et beau pi au carré divisé par deux.

Donc c'est sympa.

Et ça se généralise aussi.

On peut juste continuer.

On peut faire ce même déplacement en L si on veut passer à la cinquième dimension.

Et juste pour tout expliciter, voilà à quoi ça va ressembler ;

je vais pas le faire pour chacun d'eux parce que là, franchement,

on pousse les limites de ce qu'on peut encore dessiner à l'écran.

Mais on va dire que le bord d'une boule de dimension cinq,

c'est en un certain sens comme un produit entre l'intérieur d'une

boule en trois dimensions, une boule pleine en trois dimensions et un cercle.

Et ce que je veux vraiment dire par là, c'est que si on choisit un point sur ce bord,

eh ben, ça veut dire qu'on choisit cinq nombres tels que la somme de leurs carrés vaut

un.

Et on peut voir ça comme : d'abord, je vais en choisir trois.

Et j'ai le droit de faire ça tant que la somme de leurs carrés est inférieure à un,

donc un point à l'intérieur d'une boule en trois dimensions.

Et il me reste alors tout un cercle de possibilités.

Et c'est une équation un peu ironique.

En réalité, le bord de la boule n'est pas littéralement un

produit cartésien entre l'intérieur d'une boule et un cercle.

Mais ce que je dis, c'est qu'il y a une transformation qui préserve

le volume et qui envoie le bord d'une boule en dimension cinq sur l'objet qui,

lui, est littéralement ce produit cartésien.

Donc, pour les calculs de volume, on peut tout à fait faire comme si c'était ça,

et ça c'est cool.

Maintenant, dans notre tableau, tout ce que ça veut dire,

c'est que pour faire ce déplacement en L, on fait la même chose.

On multiplie par deux pi r.

Et parfois, on me demande : pourquoi est-ce qu'on garde ce deux pi r constant ?

Tout le reste se déplace.

Pourquoi est-ce que celui-là reste fixe ?

Et l'idée de base, c'est que quand on fait ce mouvement archimédien où on veut projeter

vers l'extérieur, c'est important d'avoir deux actions distinctes qui se compensent.

L'une étire dans une direction et l'autre projette une ombre.

Donc si on essayait de décomposer le choix d'un point sur le bord d'une sphère de

grande dimension, non pas comme un tas de choses puis 2 autres,

mais comme un tas de choses puis trois ou quatre autres,

on n'aurait plus cet effet de compensation.

Donc à chaque fois qu'on fait ce déplacement en L dans le tableau

puis qu'on intègre pour descendre, ça nous donne une colonne de plus.

Et là encore, cette intégration, pour ce qui est de la constante,

en dimension cinq, ça veut juste dire diviser par cinq.

Ce r puissance quatre devient r puissance cinq et

on a ce facteur d'intégration divisé par cinq.

Et on peut continuer comme ça en pilote automatique.

À chaque fois qu'on fait un de ces déplacements,

arriver à ce déplacement en L, ça revient à multiplier par deux pi r.

Donc on a en quelque sorte ce saut de deux pi r vers le haut et la droite,

puis un facteur d'intégration pour redescendre.

Et on remplit tout le tableau et, en un sens, c'est fini.

En un sens, ça nous donne la règle qu'on peut utiliser pour

déterminer le volume d'une sphère de n'importe quelle dimension.

Mais bien sûr, on aimerait bien une jolie formule pour ça.

On veut repartir avec une formule.

On veut analyser la formule.

On veut réfléchir à ce qu'elle veut dire.

Alors prenons un moment pour voir si on peut écrire à quoi elle doit ressembler.

Donc voilà comment je vais faire : chacun de ces volumes en dimension supérieure s'écrit

comme une certaine constante multipliée par r à la puissance du nombre de dimensions.

Donc par exemple, en dimension un, cette constante vaut deux.

En dimension deux, cette constante vaut pi.

En dimension trois, quatre tiers pi, et ainsi de suite.

Ce qu'on veut vraiment savoir, c'est quelle est cette constante.

Et la règle clé qu'on a, c'est une règle de récurrence.

Elle dit que si on veut connaître cette constante dans une certaine dimension,

on regarde deux dimensions plus tôt.

Et ça doit être pareil que de prendre ça, puis

de multiplier par deux pi et de diviser par n.

Et c'est la manière un peu formelle de capturer

cette idée de déplacement en L puis d'intégration.

On fait un déplacement en L pour monter et aller à droite, ça multiplie par deux pi.

Et ensuite on intègre pour redescendre, et ça va diviser par n.

Donc si on a cette relation de récurrence, ça nous

dit à peu près tout ce qu'on a besoin de savoir.

Par exemple, disons que dans quelques mois, on se retrouve à l'un de vos partiels.

Pour une raison inconnue, votre partiel demande :

quel est le volume d'une boule de dimension huit ?

Et là vous vous dites : Grant m'avait expliqué ça, mais j'ai oublié.

T'inquiète, c'est pas grave si on oublie, parce que tout ce qu'il faut savoir,

si on veut connaître le volume d'une boule de dimension huit,

c'est le volume d'une boule de dimension six.

On prend pi divisé par la moitié de la dimension, puis on multiplie par ça.

Et là on se dit : ah mince, j'ai aussi oublié le volume d'une boule de dimension six.

Aucun souci, aucun souci du tout.

Tout ce qu'il faut retenir, c'est le volume d'une boule de dimension quatre.

On prend pi divisé par la moitié de la dimension ; donc ici, la moitié de six,

c'est trois ; pi divisé par la moitié de la dimension, et on multiplie par ça.

Et là on se dit : bon, là c'est gênant, parce que j'ai

aussi oublié le volume d'une boule de dimension quatre.

Mais pas de souci, on descend encore d'un cran,

on multiplie par pi divisé par la moitié de la dimension.

À ce stade, en principe, on connaît le volume d'une boule de dimension deux,

autrement dit l'aire d'un cercle.

Mais si on a une âme de programmeur et qu'on regarde ça en se disant :

je suis en train de définir une fonction récursive.

Si on a déjà écrit une fonction récursive, avoir son cas de base à n égal à deux,

ce serait assez gênant de se contenter de ça.

Donc quand on regarde ce tableau, on a envie de dire attendez une seconde,

il faudrait peut-être en fait remonter encore plus loin.

Même si je connais l'aire d'un cercle, est-ce que

je devrais pas aller encore un cran plus loin ?

Est-ce que je devrais regarder en dimension à zéro ?

J'ai dit que la dimension un était mal-aimée, mais alors pauvre dimension zéro.

On n'a même pas pensé à la géométrie de dimension zéro.

Et on se dit : d'accord, qu'est-ce que ça voudrait dire ?

Eh ben, du point de vue des formules, on sait ce qu'il faut

dire si on veut que cette relation de récurrence soit vraie.

Le volume de la boule unité de dimension zéro devrait être un.

Et là on se dit : attendez, on est où ?

Zéro dimension.

Impossible d'aller à gauche, impossible de monter,

impossible d'aller nulle part, juste un point.

Donc une boule unité, c'est tout, j'imagine.

Et le volume de tout, c'est un.

Ça semble raisonnable.

Quelle est la frontière d'une boule unité ?

Genre, la frontière de tout, j'imagine, ce serait rien.

Donc zéro, ce qui, j'imagine, a du sens.

Et en fait, j'ai déjà donné cet exposé à Stanford, et vous savez comment,

à la fin des exposés, les gens viennent pour les questions-réponses,

et il y a toujours la personne agaçante qui ne comprend pas le «

questions » dans « questions-réponses », et qui fait : j'ai un truc à dire.

Donc quelqu'un s'approche, et il dit : j'ai trois trucs à dire.

En vrai, c'était pas si grave, vu que cette personne, c'était Donald Knuth.

Et il a dit : dans le cas de dimension zéro, on peut quand même écrire le programme pour

vérifier la réponse, parce qu'on choisit simplement zéro nombre et on demande la

probabilité que la somme de leurs carrés soit inférieure à un,

et cette probabilité vaut un.

Je me suis dit : ouais, touché, Donald Knuth.

Donc l'idée, c'est qu'on a cette réponse à notre question en dimension huit,

et c'est pas dur de voir comment la généraliser.

On jouait à ce petit jeu de marelle en remontant,

et en gros on multiplie pi au numérateur autant de fois que la moitié du

nombre de dimensions.

Et puis ce dénominateur, comme on divisait toujours par cette demi-dimension,

c'est juste une factorielle.

Donc dans cet exemple précis, c'est quatre factorielle, mais plus généralement,

c'est la factorielle de la moitié du nombre de dimensions.

Donc on peut simplifier un peu.

On prend cette constante, comme je disais, elle est multipliée par r à la puissance n,

et là je peux vous dire : formidable.

On peut s'en servir.

Ça permet de remonter de deux dimensions si on le voit comme une relation de récurrence,

mais on peut aussi aller directement à ce qu'on veut si on pose la question en,

disons, 100 dimensions.

Et là je me dis : quelle belle formule.

Comme promis, on a une belle formule.

Et vous pourriez dire : bon, attendez une seconde.

C'est pas fini, parce qu'il y a un truc un peu gênant dans cette formule :

qu'est-ce qui se passe pour tous les nombres impairs ?

Parce que le dénominateur nous demande de prendre quelque chose comme factorielle

d'un demi, ou factorielle de trois demis, ou de cinq demis, ce qui paraît un peu bizarre

. Mais on ne devrait pas avoir une règle différente pour les dimensions impaires,

parce que, dans toute la logique qu'on appliquait avec ce mouvement en L et

l'intégration, rien dans cette logique ne nous disait : hé,

fais ça seulement pour un nombre pair de dimensions.

Donc au fond de nous, on a envie que ce soit quelque chose qui marche pour

toutes les dimensions, parce que la règle de récurrence marche tout le temps.

Par exemple, si on avait oublié le volume d'une boule en dimension sept,

et que c'était pour une raison cheloue une question cruciale à vos partiels,

on pourrait quand même le retrouver.

On joue à ce jeu où on continue à multiplier par pi divisé par la moitié de la dimension.

Et en fait, dans ce cas, je trouve ça un peu plus joli de remettre ce deux au numérateur.

Donc si on voulait réfléchir à ce qui nous fait passer, mettons,

d'une boule en dimension un à une boule en dimension trois, on multiplie par deux pi,

puis on divise par trois.

Et donc peut-être que la prochaine fois que vous regarderez le volume d'une sphère,

vous pourrez vous dire : tiens, en fait c'est une boule en dimension un,

mais on a fait ce mouvement en L, donc deux pi divisé par trois.

Et c'est ça qui donne ce facteur quatre tiers pi.

Mais on pourrait continuer à partir de là.

Pour monter jusqu'à cinq, on multiplie encore par deux pi et on divise par cinq,

puis on remultiplie encore par deux pi, et là on divise par sept.

Et si on regardait ces cas à indice impair en se disant que les nombres

étaient vraiment moches, comme par exemple ce 945 dans un des dénominateurs.

Et au début, on se dit : mais d'où ça sort ?

Là, en fait, c'est sympa d'y penser comme ça.

C'est comme une factorielle, sauf qu'on ne prend que les nombres impairs.

Ça fait neuf fois sept fois cinq fois trois.

Et puis au numérateur, on a toujours quelque chose qui

ressemble à une puissance de deux fois une puissance de pi.

Mais si on veut que tout ça soit vrai pour notre formule générale,

on n'a pas envie d'avoir une règle pour le cas pair, une autre pour le cas impair,

un peu comme, je sais pas, fêter Noël avec des parents divorcés ou un truc du genre,

où il faut choisir l'un ou l'autre.

C'est quand même mieux si nos parents se remettent ensemble, non ?

Genre, réfléchissons à ce qu'il faudrait pour que ça ait du sens.

Et dans ce cas-là, le meilleur conseil conjugal c'est juste de regarder

le cas n = 1 et de demander ce qui doit être vrai à ce moment-là.

Donc ce que dirait cette formule pour n = 1, ce serait que le volume d'une boule à

une dimension, qui encore une fois n'est qu'un segment,

ressemble à pi à la puissance un demi — et élever à un demi,

c'est la même chose que prendre une racine carrée — divisé par un demi factorielle,

quoi que ça puisse bien vouloir dire, fois r.

Mais on réarrange un peu, et on dit : bon, ça nous dit en quelque sorte ce que

devrait être un demi factorielle, si, vous savez, papa et maman se remettent ensemble.

Il vaudrait que ce soit racine carrée de pi divisée par deux.

Et une fois qu'on a ça, on a en fait tous les autres.

Parce que si on repense aux factorielles de façon récursive,

qu'est-ce que ça devrait vouloir dire ?

Genre, n factorielle, récursivement, c'est défini

comme n fois ce que vaut n moins un factorielle.

Alors, c'est quoi trois demis factorielle ?

Eh ben, ça va être trois demis fois ce que vaut un demi factorielle,

qui, d'après nous, devrait être racine de pi sur deux.

Et cinq demis factorielle, c'est quoi ?

Eh ben, cinq demis fois trois demis fois ce que devrait être un demi factorielle.

Donc en gros, si on accepte cette suggestion venue de l'univers mathématique,

à savoir que un demi factorielle devrait être racine de pi sur deux,

alors toute notre formule marche.

Et ce qui est rassurant ici, c'est que certains d'entre vous savent

peut-être qu'il existe une façon de généraliser la factorielle.

Ça ne se généralise pas seulement aux demi-entiers.

Ça repose sur quelque chose qu'on appelle la fonction gamma.

Ça la généralise aux nombres réels, aux nombres complexes.

Et si c'était un cours beaucoup plus long, on pourrait avoir toute une autre

discussion sur la fonction gamma et sur le fait qu'il existe un chemin complètement

parallèle pour retrouver les volumes des sphères de dimension supérieure,

qui vient essentiellement de l'étude des distributions gaussiennes en grande dimension,

où, si on veut les intégrer et comprendre à quoi ressemble l'intégration d'une

fonction gaussienne, il y a une certaine astuce qu'on peut appliquer.

Et cette astuce nous donne une formule pour les sphères

de dimension supérieure en fonction de la fonction gamma.

Et ce que ça finit par nous dire, c'est que la manière dont on veut

étendre la définition de la factorielle, qui revient un peu à forcer

cette formule à être vraie, elle coïncide en fait avec la manière dont

on la généralise plus largement encore dans un autre domaine des maths.

Bon, en plus d'avoir une belle formule à admirer symboliquement,

je voudrais prendre un moment pour regarder les nombres qu'il y a derrière,

remplacer par quelques valeurs et voir si on peut interpréter ce qui se passe.

Il se passe en fait quelque chose de très étrange quand on fait ça.

Alors réfléchissons-y.

Je vais représenter le volume de la boule unité dans toutes nos dimensions.

Donc, en partant de la dimension zéro, la dimension zéro n'est plus laissée de côté :

on va lui donner l'attention qu'elle mérite.

Cette constante vaut un.

En dimension 1, le volume de la boule unité vaut deux.

En dimension 2, c'est pi, simplement l'aire du cercle unité.

En dimension 3, c'est quatre tiers de pi.

Et tous ces nombres augmentent.

Vous vous dites peut-être : oui, évidemment qu'ils augmentent,

puisque chaque sphère dans une dimension contient les plus petites.

Donc ça grossit.

Ils sont censés grossir.

En dimension 4, c'est encore plus grand.

On arrive à peu près à 4,93.

En dimension 5, c'est encore plus grand, mais ça commence un peu à ralentir,

et ça peut nous faire tiquer.

Puis ça devient franchement inquiétant, parce qu'en dimension 6, c'est plus petit.

Genre, c'est bizarre.

En dimension 7, c'est plus petit.

En dimension 8, c'est plus petit.

En dimension 9, c'est encore plus petit.

Ça se met à décroître très vite.

Attendez une seconde.

En dimension 10, par exemple, c'est en fait plus petit que la boule en dimension 2.

Et ça, c'est assez étrange à interpréter, pour le moins.

Et donc, si on trace la courbe correspondante,

en la prolongeant non seulement pour les entiers,

mais pour tout grâce à la fonction gamma, voilà à quoi elle ressemble.

Et réfléchissons à pourquoi.

Genre, pourquoi est-ce qu'elle change de comportement ?

Pourquoi est-ce qu'elle fait demi-tour à cinq ?

C'est quand même bizarre.

Qu'est-ce qu'il y a de spécial avec cinq dimensions ?

Et ensuite, qu'est-ce qui se passe quand on va

vers un nombre de dimensions encore plus grand ?

Et, ce qui est bien dans le fait qu'on soit arrivés ici,

pas juste parce que je vous ai donné la formule en disant faites-moi confiance,

elle est vraie, mais parce que vous voyez d'où elle vient,

c'est qu'on peut réfléchir à ces questions en sachant d'où elles viennent.

Au fond, tout repose sur cette relation de récurrence,

où pour comprendre ce qui se passe dans une dimension,

on regarde deux dimensions avant, puis on fait ce déplacement en L

qui nous donne deux pi, et ensuite on fait une intégration,

ce qui donne cette division par n.

Donc à chaque fois qu'on avance de deux cases vers la droite dans ce tableau,

on multiplie par deux pi divisé par n, où n est en gros l'abscisse du point où on

atterrit.

Donc par exemple, pour passer de un à trois, c'est deux pi sur trois.

Deux pi est plus grand que trois, donc c'est pour ça que ça augmente.

De deux à quatre, on multiplie par deux pi sur quatre.

Deux pi est plus grand que quatre, donc ça augmente encore.

Deux pi est plus grand que cinq, mais de moins en moins, donc ça augmente moins.

De quatre à six, deux pi est plus grand que six, mais pour le coup, tout juste.

Et c'est là que y'a un changement : quand on passe de cinq à sept,

on prend deux pi divisé par sept, mais maintenant le dénominateur commence à l'emporter.

Et en fait, il l'emporte de plus en plus, parce que quand on monte en dimension,

ce facteur d'intégration joue un rôle de plus en plus important, jusqu'à dominer.

Donc quand on se demande pourquoi c'est à cinq qu'on a un maximum, en gros,

c'est parce que pour cette valeur de n, où le numérateur et le dénominateur

sont aussi proches que possible, quand c'est égal à six, ça encadre ce nombre cinq.

Et donc c'est à ce moment-là que la variation sur ce graphe est à peu près nulle.

Mais si on continue, ce qui devient vraiment surprenant,

et je pense que c'est un de ces faits franchement déroutants sur les dimensions

supérieures, c'est que les boules unité ne deviennent pas juste petites,

elles deviennent carrément infinitésimales.

Par exemple, prenons une boule dimension 100.

Avec notre formule, ça donne pi puissance 50.

Cool, c'est grand, un bon gros nombre, mais on divise par 50 factorielle,

qui est bien plus grand, pas vrai ?

Parce que tous ces facteurs de pi au numérateur sont en moyenne bien,

bien plus petits que les termes qu'on multiplie au dénominateur.

Presque tous sont bien plus grands que pi.

Numériquement, ça vaut environ 2,37 fois 10 puissance moins 40.

Donc une boule en 100 dimensions, c'est rien.

C'est vraiment que dalle.

Et ça encore une fois, c'est un fait empirique.

Cette question que j'ai posée au début : imaginez que vous choisissiez 100 nombres

aléatoires différents, chacun entre moins un et un, puis que vous les éleviez au carré.

On veut connaître la probabilité que la somme de ces carrés soit inférieure à un.

D'un côté, on peut se dire : bon, on s'attend

quand même à ce que ce soit un petit nombre, non ?

Parce que pensez à la coïncidence qu'il faut ici.

Il faut que vos 100 nombres soient tous, par hasard, assez petits pour que,

quand on additionne tous ces carrés, on obtienne moins de un.

Moi, je dirais : oui, c'est étonnant.

J'aurais pensé que cette petitesse était déjà prise

en compte par ce 2 puissance 100 au dénominateur.

Je regarderais ça en me disant : bon, voilà d'où vient le fait que c'est petit.

Ce qui est surprenant ici, c'est que ce n'est pas seulement le

dénominateur qui le rend petit : le numérateur joue aussi contre nous.

Ce numérateur aussi, c'est un nombre minuscule.

Le fait que le volume des sphères de grande dimension soit très petit,

voire carrément négligeable, ça revient souvent.

Vous, les gens qui étudiez l'apprentissage automatique doivent

réfléchir à ce genre de bizarreries des grandes dimensions.

C'en est clairement une.

Vos boules sont toutes minuscules.

Les cryptographes, pareil.

N'applaudissez pas, vous pouvez pas applaudir.

Il y a un moment pour applaudir, et là, c'est pas le moment.

Si on étudie la cryptographie, ce fait revient souvent aussi.

En mécanique quantique aussi.

Et je pense que ça vaut le coup de détourner un instant

toute votre attention de cette idée de boules minuscules.

Et de la porter plutôt sur la question : pourquoi ?

D'où ça sort ?

Et en fait, ce qui se passe ici, c'est le facteur d'intégration quand on divise par ce n.

Par exemple, quand on pense au volume d'une boule en trois dimensions,

on est en quelque sorte en train d'additionner toutes ces couches.

On intègre toutes ces quantités qui sont proportionnelles à r au carré.

Et on dit que ça donne en effet ce facteur un tiers.

C'est très proche, en fait : si on a, disons, une pyramide à base carrée et qu'on

l'imagine construite à partir de tout un tas de carrés dont les côtés augmentent

linéairement.

Vous savez, pour la pyramide, on a l'impression que

c'est un tiers fois l'aire de base fois la hauteur.

En gros, c'est la même chose ici : c'est de là que vient le un tiers.

Et en général, quand on fait ça dans un plus grand nombre de dimensions,

ce facteur devient de plus en plus grand.

Et ça renvoie en fait à une propriété distincte des sphères de grande dimension,

qui est aussi pertinente dans tous ces domaines.

Si on veut se faire un peu d'intuition sur la façon dont les distances se comportent.

Et ça a à voir non seulement avec le volume d'une sphère,

mais aussi avec l'endroit où se trouve ce volume.

Et en gros, il est presque entièrement juste à côté de la frontière.

Et c'est pas trop dur d'expliquer pourquoi.

Disons qu'on est en deux dimensions et qu'on veut comprendre quelle part de l'aire de

ce cercle, disons un cercle unité, se trouve à une distance de 0,01 de la frontière.

En gros, c'est dans le 1 % le plus au bord.

Eh ben, on peut calculer ça en disant : d'accord,

l'aire du cercle entier, c'est pi r au carré.

Et puis si on enlève tout sauf cette zone près du bord,

il reste un autre cercle, mais dont le rayon est réduit de 99 %.

Et si on réduit le rayon de 99 %, l'aire est multipliée par le carré de ça,

ce qui vaut environ 0,98 ici, 0,9801.

Mais l'idée, c'est qu'à peu près 2 % de l'aire de ce cercle est proche du bord.

Mais les cercles sont en fait très inhabituels de ce point de vue,

parmi toutes les sphères possibles dans toutes les dimensions.

Parce que réfléchissons à ce que ça donnerait dans,

mettons, une dimension vraiment grande, genre 10 000.

Donc, le volume, on le connaît.

C'est marrant.

On a une formule pour ça.

Mais c'est pas vraiment le sujet ici.

Si on voulait refaire le même jeu et se demander quelle part du volume est juste

à côté du bord, on peut prendre la boule entière puis dire : réduisons-la de 99 %.

Et ensuite demander quel est le volume de la plus petite.

Au début, on pourrait penser qu'elle est seulement un peu plus petite.

Mais dans ce cas, quand on la réduit, elle n'est

pas seulement réduite dans deux directions.

Par définition, quand on dit qu'on est en 10 000 dimensions,

elle est réduite dans 10 000 directions différentes.

Donc le facteur par lequel son volume diminue, ça ressemble à 0,99 à la puissance 10 000.

Ça vaut pratiquement zéro.

C'est 2 fois 10 puissance moins 44.

Donc ça veut dire qu'en gros, presque tout le volume se trouve juste là,

sur cette frontière.

Et ça a un lien avec ce qu'on regardait juste avant :

quand on passe de la frontière vers l'intérieur,

on fait une division qui devient de plus en plus importante.

Parce que si on y pense, qu'est-ce que ça veut dire quand on dit que

l'aire de la surface d'une sphère, d'une sphère unité, vaut 4 pi,

un nombre autour de 12, et que son intérieur vaut quatre tiers de pi.

D'un côté, on compare des unités différentes.

L'une est une aire, l'autre un volume.

Mais on peut se dire qu'on prend cette aire et qu'on la multiplie juste par une

toute petite quantité, et ça donne une part disproportionnée de la sphère entière.

Donc en fait, c'est une bonne intuition à avoir quand

on travaille avec des données en grande dimension.

En gros, tout, si on a affaire à quelque chose à l'intérieur d'une boule,

est juste à côté de la surface, pratiquement sur la surface.

Puisqu'on y est, il y a un autre fait lié à ça : disons qu'on veut savoir,

sur cette frontière, où se trouve la plus grande partie de ce volume de frontière.

Par exemple, la plus grande partie de l'aire de surface d'une sphère.

Dans une sphère ordinaire, c'est joliment réparti partout.

Mais si ce dessin était fait en beaucoup, beaucoup, beaucoup plus de dimensions,

ce qui finit par se passer, c'est que presque toute la masse est à l'équateur.

Et la raison est liée à ce dont on vient de parler :

dès qu'on change l'échelle un tout petit peu,

comme il y a tellement de dimensions à redimensionner, ça disparaît pratiquement.

Donc si on pense aux cercles qui ne sont pas l'équateur, et quand je dis cercle,

je parle des frontières de dimension d moins 2 qui ne sont pas l'équateur,

mais qui sont juste un peu au-dessus ou juste un peu en dessous,

celles-là finissent par devenir pratiquement nulles,

parce que la toute petite réduction d'échelle nécessaire pour être juste un peu plus

haut ou juste un peu plus bas fait essentiellement disparaître leur volume.

Maintenant, la dernière chose sur laquelle je veux m'attarder,

c'est que cette idée selon laquelle la taille des sphères en grande dimension rétrécit

donne un peu l'impression que la comparaison n'a même pas vraiment de sens,

parce qu'on mélange des unités différentes.

Genre, qu'est-ce que ça veut dire de comparer le volume d'une boule de

dimension 1 à celui d'une boule de dimension 2 puis d'une de dimension 3 ?

Puisque l'une est une longueur, l'autre une aire, l'autre un volume.

Parce que, dans un sens littéral, une boule de dimension 3 n'est ni plus

petite ni plus grande qu'une boule de dimension 4, c'est juste incomparable.

Alors essayons de voir ce que ce nombre veut vraiment dire.

Comment lui donner une interprétation un peu indépendante des unités ?

Et au sens littéral, j'imagine que ce qu'on dit vraiment,

c'est qu'on le compare au volume d'un cube unité.

Ce pi pour l'aire d'un cercle unité, c'est en gros l'aire

d'un cercle comparée à l'aire d'un carré de côté 1.

Et puis en dimension 3, qu'est-ce qu'on veut dire par ce quatre tiers de pi ?

Eh ben, on compare le volume de cette boule au volume d'un cube unité.

Donc d'une certaine façon, le fait que ça devienne plus petit,

ça nous dit juste qu'en grande dimension, la taille d'un cube par

rapport à celle d'une boule finit par devenir vraiment, vraiment disproportionnée.

Les cubes sont énormes et les boules sont petites.

Et là je me disais, en fait, ça me rappelle cette énigme qu'on a vue plus tôt.

Et en fait, il y a une autre image qu'on peut avoir en

tête pour comprendre ce que ce nombre nous dit vraiment.

Parce que revenons à la deuxième énigme qu'on a regardée,

celle où on avait toutes ces boules dans les coins.

Et si je voulais demander quelle part de ce schéma est représentée

par ces boules dans les coins, par opposition au cube ?

Et dans ce cas-là, il y a huit boules distinctes dans les coins,

et chacune a un rayon de 1.

Et puis le cube, c'est un cube de deux sur deux sur deux.

Donc on prendrait huit fois le volume d'une boule unité, puis on diviserait par huit.

Donc ça nous ramène exactement là où on en est, parce que ce facteur huit s'annule.

Quelle que soit l'allure de cette figure en dimension 100,

on a 2 puissance 100 boules de coin, puis on a ce gros cube de volume 2 puissance 100,

donc ça s'annule.

Et le fait qu'une boule en dimension 100 soit toute petite,

on peut l'interpréter en disant que, quel que soit ce dessin en dimension 100,

ces boules de coin n'en représentent quasiment rien.

En pratique, elles ne représentent pratiquement rien du volume qu'on regarde.

Et ça rejoint un peu l'image que je donnais tout à l'heure,

où l'image très approximative pour ce cube de grande dimension,

c'est qu'il est super pointu.

C'est une forme où la distance jusqu'au bord est bien,

bien plus petite que la distance jusqu'aux coins.

Et donc toutes ces boules en coin, c'est en gros quasiment rien sur notre dessin.

Et donc avec tout ça, je veux juste finir sur une toute petite note :

on peut tomber sur plein de belles choses en maths,

mais reconnaître cette beauté demande parfois de reprendre quelque chose de

très familier, que ce soit la factorielle ou l'aire d'un disque,

et de le replacer dans un cadre plus général.

La beauté derrière les factorielles, et la beauté derrière la formule

du volume d'une boule, ne deviennent vraiment visibles qu'une fois

qu'on a pris assez de recul pour voir les choses de façon plus générale.

Sinon, on ne verrait pas du tout que pi se cache en secret

dans vos calculs de factorielles, ni qu'il y a une formule

unificatrice entre l'aire d'un disque et le volume d'une boule.

Donc c'est tout ce que j'avais pour vous.

Je vais m'arrêter là.

Merci à toutes et à tous d'être venus.

Salut, c'est encore moi, mais depuis mon bureau cette fois.

Je voulais ajouter une petite note de fin, en partie pour parler de la

toute première animation que j'ai montrée au début et expliquer ce que c'est exactement,

et quel est son lien avec les boules en grande dimension.

Mais avant ça, vu que vous êtes manifestement le genre de personne qui regarde un cours

sur les boules de grande dimension, je me dis que ce nouveau projet expérimental que je

fais cette année pourrait bien vous correspondre :

c'est en gros un salon de l'emploi virtuel.

Alors prenez un moment pour aller sur 3b1b.co/talent.

Et là, vous trouverez un ensemble d'opportunités de carrière proposées par

plein d'organisations différentes qui s'intéressent à des gens comme vous,

le genre de personnes qui regardent ces vidéos et à la curiosité que ça représente,

ce qui a tendance à être corrélé à de très fortes compétences techniques.

Pour chaque groupe que vous y trouverez, j'ai personnellement

pris le temps de discuter avec les équipes sur place.

Et je peux vous dire que les gens que j'y ai rencontrés sont clairement brillants.

Ils sont très curieux, dans le sens où ils cherchent la vérité.

Beaucoup sont simplement des gens très autonomes et entreprenants.

Et on voit clairement qu'ils prennent en main ce qu'ils font vraiment.

Ils n'attendent pas juste qu'on leur dise quoi faire.

Et si ça ressemble au genre de personnes avec qui vous aimeriez travailler,

je vous encourage vraiment à aller au moins jeter un œil,

et à écouter quelques-unes des interviews que j'ai menées avec les gens là-bas.

Et si vous cherchez une nouvelle carrière, avec un peu de chance

ça vous donnera une nouvelle série de pistes utiles à considérer.

Depuis la dernière vidéo, quand j'en ai parlé pour la toute première fois,

il y a vraiment eu des embauches, ce qui je trouve est plutôt génial.

Alors qui sait ?

Peut-être que si vous allez voir la page, ce sera vous la prochaine personne.

Bon.

Alors, pour cette animation tout au début, j'ai d'abord montré ce cercle qui devient

les différentes lignes de latitude sur une sphère, une sphère en trois dimensions.

Et notre esprit reconnaît très bien que c'est une sphère en trois dimensions.

Après ça, je montre essentiellement la même chose,

le même code, mais en montant d'une dimension.

Je représente toutes les sphères de latitude sur une sphère en quatre dimensions.

Donc ce sont en quelque sorte tout un tas de quadruplets de nombres.

Mais si on change la perspective là-dessus avant de projeter en trois dimensions,

on obtient toutes ces différentes vues de ce à quoi finissent par ressembler ces sphères

de latitude, et quand cette hypersphère tourne, ça devient vraiment très psychédélique.

Et je pense pas que ce soit un dessin clair dans le sens où le regarde et on se dit :

ah bah oui, pi au carré sur deux.

Mais c'est assez sympa.

Donc je me suis dit que j'allais vous le partager.

Aussi, si vous voulez voir une application cool de cette formule pour les volumes des

sphères de grande dimension, vous pourriez aimer une vidéo que j'ai faite avec

Numberphile il y a quelques années, qui contient une énigme dont la réponse fait

intervenir ça.