[ترجمة AI. أرسل التصحيحات على criblate.com] كل مرة بعمل فيها واحد من هالفيديوهات، بيكون أحيانًا في لحظة مميزة يكون فيها فعل

التحريك نفسه عبارة عن حل مجموعة كبيرة من الألغاز التقنية الصغيرة، وبعدها الرياضيات

اللي بحاول أشرحها بتوضح لي بطريقة ما كانت واضحة من قبل أول ما أشوفها حية على الشاشة.

أفضل نسخة من هاللحظات غالبًا بتقولي إن الفيديو راح يكون من المفضلين عندي،

وتجميع نهاية هالقطعة هنا كان واحد من هالأوقات اللي حسّيت فيها بهالشعور.

قصتنا اليوم ما بتبدأ فعليًا في صف الرياضيات.

نبدأ من غرفة الفن.

تخيل نفسك واقف في معرض، وتتطلع إلى صورة لقارب في ميناء، والعالم كله يلتوي

كلما ارتفعت نظرتك للأعلى وإلى اليمين، حيث تشوف قرية على هالواجهة المائية.

وبين المباني المتلاصقة بإحكام، يلتوي العالم أكثر لما تنزل

نظرتك إلى مدخل أحد المباني، المؤدي إلى ممر مليان أعمال فنية.

وفي آخر هالممر، ها أنت من جديد، تحدق في صورة لقارب.

هذه مطبوعة حجرية لـ م.س.

إيشر من سنة 1956، اسمها معرض المطبوعات، أو بالهولندية، برينتنتنتونستيلينغ.

في رسالة كتبها لابنه، وهو يصف فيها ابتكاره لشاب ينظر باهتمام إلى مطبوعة يظهر فيها هو

نفسه، سمّى إيشر هذا العمل أغرب شيء سويته في حياتي، وهذا بالنسبة له كلام كبير فعلًا.

فن إيشر محبوب على نطاق واسع حول العالم، وغالبًا ما يتميز بمواضيع

paradoxية أو أنماط هندسية ممتعة بشكل فريد ومعها نوع من الشخصية.

وهذا الحب واضح بشكل خاص عند علماء الرياضيات، لأن فنه كثيرًا ما يلامس مفاهيم عميقة بشكل

مدهش داخل الرياضيات، رغم أن إيشر نفسه ما كان عنده أي تدريب أكاديمي رسمي في هذا المجال.

معرض المطبوعات يعطي مثالًا مثاليًا على هذا العمق غير المتوقع.

في 2003، قدم عالما الرياضيات دي سميت ولينسترا تحليلًا ممتعًا جدًا لما يحدث فعلًا

في هذه القطعة، وللحلقة المنغلقة على نفسها والمذهلة للعقل التي نجح إيشر في تحقيقها.

واحد من أهدافي الرئيسية في هذا الفيديو هو أن أقدم تفكيكًا بصريًا لتحليلهما،

وعلى عادتي دائمًا، بهدف أن أعطيك إحساس أنك كان ممكن تكتشف هذا بنفسك.

شيء يظهر من هذا التحليل بشكل غير متوقع هو جواب السؤال:

ما الذي يفترض بالضبط أن يكون في وسط هذه الصورة؟

في البداية، قد يبدو هذا سؤالًا غير مترابط.

إذا اقتربت منه من الجهة العليا اليمنى، فيبدو أنه يفترض أن يعرض مباني في

القرية، لكن إذا أتيته من اليسار، فيبدو أقرب إلى كونه جزءًا من إطار الصورة.

أما إذا أتيته من الأسفل، فيبدو أن الأنسب أن يكون جزءًا من المعرض نفسه.

بطريقة ما، كل الغموض المتعلق بمكانك بالضبط في هذا

المشهد كله مضغوط داخل تلك الدائرة الفارغة في الوسط.

وللمتعة فقط، وبما أننا في عشرينيات القرن الحالي، خليت نموذج انتشار يحاول يعبّي هذا الفراغ.

وبشكل غير مفاجئ، هو يعاني جدًا.

هو ببساطة لا يفهمها إطلاقًا.

ولو أعطينا الآلة المسكينة بعض الحق، فمن الطبيعي طبعًا أنها تعاني.

هذا الجزء يبدو غامضًا بطبيعته وغير محدد المعالم أصلًا في المشهد.

لكن مع ذلك، آمل أنه في النهاية توافقني أن هناك تكملة واحدة، بل في الحقيقة

واحدة فقط، تشعر أنها قطعة الأحجية الصحيحة التي يمكن وضعها في مكانها.

قبل ما ندخل في الرياضيات، أبغى أعطيك وصفًا حدسيًا بحتًا لكيف

صنع إيشر هذه القطعة فعلًا، وهي تنقسم إلى ثلاث خطوات مختلفة.

الخطوة الأولى هي أن تبدأ بنسخة مفروضة ومستقيمة من

الفكرة العامة نفسها، حيث يوجد رجل ينظر إلى صورة.

وتحتوي تلك الصورة على ميناء، يحتوي على بلدة، تحتوي على

معرض مطبوعات، يحتوي على ذلك الرجل نفسه، وهكذا دواليك.

تقدر تواصل التكبير إلى ما لا نهاية على راحتك.

فكرة الصورة المتشابهة مع نفسها، اللي تكون الصورة فيها

موجودة داخل نفسها، لها اسم خاص عند مصممي الجرافيك.

معروفة باسم تأثير دروستا، نسبةً إلى شركة كاكاو استخدمته في هويتها.

وفي الواقع، يبدو إن هالحركة كانت نوعًا ما وسيلة

تسويقية شائعة لمنتجات كثيرة من بدايات القرن العشرين.

لكن صورة دروستا المتشابهة مع نفسها اللي كان إيشر يستخدمها فيها تقريب أعمق بكثير

جدًا من كل هذي، بحيث إن النسخة المتشابهة مع الأصل أصغر بـ256 مرة من الأصل.

بعد شوي راح تشوف من وين جاي هالرقم.

عبقرية إيشر إنه بطريقة ما أدرك بشكل حدسي إنه لازم يكون فيه طريقة لأخذ

فكرة صورة متداخلة داخل نفسها وتحويلها إلى هالحلقة الملتوية اللي يصير

فيها التكبير للداخل بشكل ضمني بينما عين المشاهد تتجول حول الدائرة.

بالمناسبة، يمكن تتساءل من وين جبت هالنسخة المستقيمة، والجواب

إن هالرياضيين اللي أشرت لهم سمحوا لنا باستخدامها بكل كرم.

وهذا شيء هم فعلًا أعادوا بناءه عكسيًا من عمل إيشر الأصلي

بمساعدة فنانين هولنديين، هانز ريختر وجاكلين هوفسترا.

والطريقة اللي أعادوا فيها بناءه عكسيًا مثيرة جدًا للاهتمام فعلًا.

وبنوع من الكلام المجازي، هي تتضمن أخذ اللوغاريتم للعمل الأصلي.

وأعرف إن هالجملة غالبًا تبدو كأنها كلام فارغ الآن، لكن

لاحقًا في هالفيديو، أوعدك إنها راح تصير منطقية جدًا.

ولتوضيح الفكرة الأساسية لكيف صنع إيشر هالحلقة، أبغى أستخدم مثال أبسط

من اللي كان يشتغل عليه، فراح نعرض صورة دراستا متشابهة مع نفسها ومخصصة،

فيها مخلوق فطيرة يطالع صورة مؤطرة لبيت يعيش فيه نفس مخلوق الفطيرة.

في هالمثال، النسخة المتشابهة مع الأصل أصغر فقط بـ16 مرة من

الأصل، وهذا يخلي كل شيء أسهل بكثير عشان ينشاف دفعة وحدة.

اللي راح أسويه هو إني أحتفظ بمساحة عمل منفصلة على اليمين هنا عشان أرسم

الهدف العام اللي في بالنا، والطريقة اللي ممكن تفكر فيها بالموضوع هي

إنك تريد توزّع عامل التكبير للداخل البالغ 16 مرة على زوايا المربع الأربع.

مثلًا، خلنا نقول إنك تريد مخلوق الفطيرة نفسه يظهر

تقريبًا بنفس الحجم في الزاوية السفلية اليسرى.

فإذا كبّرت في الأصل بمقدار 2، راح نأخذ اللي يكون في أعلى اليسار من

النسخة المكبرة ونحطه بعدين في أعلى اليسار من مساحة العمل عندنا.

وبالمثل، كبّر مرة ثانية بمقدار 2، ثم خذ أعلى اليمين من النسخة

المكبرة، وحط نسخة موسعة منه في أعلى اليمين من مساحة العمل.

وأخيرًا، خطوة أخيرة، كبّر مرة ثانية بمقدار 2، خذ اللي في أسفل اليمين

من النسخة المكبرة، كبّره، وحطه في أسفل اليمين من مساحة العمل.

هالزوايا الأربع المقتطعة تعطينا فكرة تقريبية عن الشيء اللي نريد نصنعه هنا.

وطالما تقدر تلقى طريقة سلسة لملء الفراغات بينها، فبينما عين المتفرج تتجول

حول دائرة في هالصورة، اللي راح يشوفه بيستمر يكبّر للداخل أكثر وأكثر وأكثر

إلى أن يتصل بشكل أنيق مع الجزء المتشابه ذاتيًا من الصورة الأصغر بـ16 مرة.

نقدر ببساطة نحاول نوصل كل شيء بشكل بدائي، شيء مثل كذا، لكن بصراحة هذا ما يطلع شكله جيد

جدًا، وبالتأكيد مو بنفس السلاسة والأناقة اللي قدر إيشر يحققها، لذلك لا يزال قدامنا شغل.

وبالمناسبة، هالكتاب اللي كنت أتصفحه، سحر إم. سي.

إيشر، أخذته خلال زيارة رائعة إلى متحف إيشر في لاهاي، واللي أنصح فيه جدًا إذا

مرّيت بهولندا، ولما نصل إلى القسم الخاص بمعرض المطبوعات، يعطينا لمحة صغيرة

عن كيف كانت عملية إيشر فعلًا.

بالنسبة له، كانت الخطوة الثانية هي إنشاء هالشبكة الملتوية.

وبالنسبة للرسوم المتحركة هنا، راح أعرض تعديلًا بسيطًا على هالشبكة، وهو في

الأساس ألطف شوي من ناحية رياضية في التوليد، لكنه يوضّح نفس الفكرة الأساسية.

في حالته، صورة دروستا المتشابهة مع نفسها اللي كان يشتغل عليها عندها

عامل تحجيم قدره 256، لذلك توزيع هذا العامل على الزوايا الأربع كان

بالنسبة له يتطلب تحجيمًا بمقدار أربعة كلما انتقلت من زاوية إلى التالية.

وإذا دققت النظر في شبكته، مثلًا في أحد المربعات أسفل اليمين، راح تلاحظ إنه

إذا تتبعت الخطين العلوي والسفلي اللي يحددان ذلك المربع باتجاه أسفل يسار

الصورة، فهذان الخطان نفسيهما ينتهيان بإحاطة مربع صار الآن أكبر بأربع مرات.

And if you look closely at his grid, say at one of the squares on the lower right,

notice how if you follow the top and bottom lines bounding that square over to the lower

left of the image, those same lines end up enclosing a square that is now four times as

big.

وبنفس الشكل، لو نظرت للخطوط اللي تحد اليسار واليمين لمربع صغير من تلك المنطقة،

وتتبعتها لفوق، راح تلقاها تنتهي وهي ملتفة حول مربع أكبر بأربع مرات بشكل مرتب.

فالشبكة نوعاً ما ترمّز التحجيم من زاوية للي بعدها اللي نبغاه.

أما في مشروعنا اللطيف، بما أننا نحتاج فقط نكبّر بمعامل اثنين من كل

زاوية للي بعدها، فرح نستخدم نسخة معدلة من هذا، لكن بنفس الفكرة العامة.

ممكن بشكل طبيعي تتساءل: من وين جات هذي الشبكة أصلاً؟ لكن بصراحة أبغى

أؤجل هذا السؤال ونقفز للخطوة الثالثة، وهي كيف فعلياً تقدر تستخدم

هذي الشبكة مع صورة دروسي ذاتية التشابه عشان تصنع تأثير إيشر النهائي.

الطريقة تشتغل كذا: أول شيء نحط شبكة مربعات عادية فوق الصورة الأصلية، وبعدها

لنفترض أنك تبغى هذا الجزء هنا ينتهي في هذه الزاوية من نسختنا النهائية.

اللي تسويه هو أنك تأخذ كل مربع صغير داخل هذا الجزء، ثم تنسخ

محتواه إلى المربع الصغير المقابل له في النسخة المشوّهة من الشبكة.

ومن هناك، كل مربع مجاور في شبكتنا الأصلية يصير لازم يروح إلى المربع المجاور المقابل له

في النسخة المشوّهة، فبشكل ما تقدر تواصل تتبع وين لازم تروح الصورة عن طريق تتبع الشبكة.

وحقيقة أن خطوط الشبكة في النسخة المشوّهة تتباعد بمعامل اثنين كل

ما تتحرك من أسفل اليسار إلى أعلى اليسار تعني أن مقياس المشهد

عندنا يتضاعف تلقائياً بهذا المعامل اثنين كل ما طلعت على طول ذلك الخط.

فكرة هذه العملية هي أنه كفنان، يكون من السهل نسبياً أنك تمشي جزء جزء، وتنسخ اللي داخل

مربع صغير إلى مربع صغير ثاني، لأنه على هذا المقياس الصغير الأشياء ما تكون مشوّهة.

وأكيد هذا أسهل بكثير، كثير كثير، من أنك تحاول تتخيل وترسم الصورة

النهائية المشوّهة المناسبة وأنت تبدأ من لا شيء غير صفحة فاضية قدامك.

فبشكل عام، لما تكون هذه الشبكة المشوّهة بيدك، تصير عملية نسخ كل مربع

صغير شبه تلقائية وبشكل مريح، وإذا خلّينا هذي العملية التلقائية تكمل

دورة كاملة، فهي تنغلق بشكل جميل على الموضع الابتدائي، ولكي يصير هذا

لازم تكون صورتنا الأصلية فيها هذا التشابه الذاتي لما تكبّر بمعامل 16.

أتمنى توافقني أن النتيجة النهائية اللي عندنا جميلة جداً، فهي تعيد خلق نفس التأثير

العام، لكن أكثر من أي شيء ثاني أظن أنها تعطينا تقديراً أعمق لتكوين إيشر نفسه.

هو كان فعلاً متعمداً جداً في اختيار نوع الصور على كل المقاييس المختلفة.

وعلى حد قوله: اخترت عن قصد أنواعاً متسلسلة من الأشياء، مثل

مثلاً صف من المطبوعات على الجدار، أو كتل من البيوت في بلدة.

ومن دون العناصر الدورية، كان سيكون أصعب بكثير أن أوصل قصدي إلى المشاهد العادي.

هذه الفكرة، اللي يكون عندك فيها صورة مرجعية مستقيمة ثم شبكة مشوّهة،

وتستخدم الاثنين معاً لصنع مشهد مشوّه، هي عملية شائعة في التصميم الجرافيكي.

وتُعرف باسم تشويه الشبكة، وإيشر ما اخترعها خصيصاً لهذه الحالة،

بل هي شيء كان قد استخدمه عدة مرات من قبل في أعمال أخرى.

وبالنسبة لقصتنا، الفكرة هي أن كل المنطق الخاص بتحويل تكبير دراستا إلى حلقة

تم تجريده وتنقيته داخل هذه الشبكة، وهذا يطرح السؤال الطبيعي: من أين جاءت؟

كيف تسوي هذا؟

ممكن تتخيل كنهج أولي ساذج أنك تحاول تعمل تحجيماً خطياً لكل

شيء من زاوية للي بعدها، لكن لو فعلت هذا مباشرة فسترى تعارضاً.

هذان المساران من التحجيم يفرضان ضغوطاً مختلفة على المربعات الفردية، فمثلاً

هذا المربع يريد أن يتمدّد بهذا الاتجاه بناءً على التكبير القادم من اليمين،

لكنه أيضاً يريد أن يتمدّد بهذا الاتجاه بناءً على التصغير وأنت تصعد للأعلى.

ويبدو أن إيشر انجذب لحل هذا الأمر عن طريق تقويس كل الخطوط لتخفيف هذا التوتر.

لكن فيه قيد حاسم آخر على ما يبدو أنه كان يسترشد به، قيد يُفترض

أنه جعل عملية نقل الصورة أسهل، وجعل النتيجة النهائية تبدو أكثر

طبيعية، وسيجعل أذن أي رياضي غارق في التحليل العقدي تنتبه فوراً.

في شبكته المشوّهة النهائية، المربعات الصغيرة هي، يعني، مربعات فعلاً.

وللتوضيح، هذا ليس صحيحاً أبداً في أغلب تشويهات الشبكة.

في أغلب الحالات، خطوط الشبكة المشوّهة التي ترسمها لا تتقاطع بالضرورة بزوايا

قائمة، والمناطق الصغيرة التي تحدها تكون عموماً متوازيات أضلاع صغيرة.

ومع هذا، يظل الأمر قابلاً للتطبيق بالنسبة للفنان، فما زال بإمكانك نوعاً

ما تنفيذ النقل، لكن على الأغلب أن فعل النسخ من الأصل إلى النسخة المشوّهة

يكون أكثر إرباكاً عندما يوجد هذا التشويه، لذلك سيكون ألطف بكثير لو أن

المربعات الصغيرة في الشبكة المشوّهة بقيت على الأقل تقريباً مربعات.

ولما تدقق في الشبكة اللي استخدمها إيشر في معرض المطبوعات حقه، تلقى إنها تملك هذه الخاصية.

كل الخطوط تتقاطع بزوايا قائمة، وعلى مقياس صغير كفاية،

المناطق اللي تحصرها فعلًا تكون تقريبًا مربعات.

فنيًا، هذا يعطي أثر جميل: رغم إن المشهد كله ملتوي ومشوّه بشكل قوي على المستوى

العام، إلا إنه لما تقرّب على المستوى المحلي، كل شيء يكون قليل التشوّه نسبيًا.

وهذا اللي يخلي كل جزء محلي من صورة إيشر سهل التعرّف عليه.

ورياضيًا، هنا فعلًا تبدأ القصة تصير ممتعة.

تشوف، فكرة وجود دالة من فضاء ثنائي الأبعاد إلى فضاء ثنائي الأبعاد، بحيث

المربعات الصغيرة تظل تقريبًا مربعة، لها دور خاص ولها اسم خاص في الرياضيات.

اسمها تحويل توافقي، وأحد المجالات اللي تظهر فيه طول الوقت هو

دراسة الدوال اللي مدخلاتها أعداد مركبة ومخرجاتها أعداد مركبة.

في هذه المرحلة، راح نرجع خطوة للخلف ونطلع من صف الفن ونتمشى إلى قسم الرياضيات،

وهناك أبغى أقدّم لك درس صغير عن بعض الأفكار الأساسية في هذا المجال.

الخطة الأساسية من هنا هي إني أولًا أبغى أسوي مراجعة سريعة، ونمر على بعض

أساسيات الأعداد المركبة والدوال المركبة، وبعدها أبغى أقضي وقت له معنى

وأنا أبني إحساسًا حدسيًا لشكل اللوغاريتمات في سياق الأعداد المركبة هذا.

وبعدين لما يصير هذا الشيء عندك، راح نمشي خطوة بخطوة في طريقة مختلفة تمامًا

تقدر تتخيل فيها إعادة صنع التأثير اللي كان عند إيشر في معرض مطبوعاته.

خلّينا نبدأ بمراجعة الأساسيات.

عادة نفكر في الأعداد الحقيقية على إنها تعيش على خط أحادي البعد،

خط الأعداد الحقيقية، بينما الأعداد المركبة ثنائية الأبعاد.

بالتحديد، نفكر في الثابت التخيلي i، المعرّف على إنه الجذر التربيعي لـ -1، وكل

نقطة ثانية على هذا المستوى تمثل نوعًا ما مزيجًا من عدد حقيقي مع مضاعف حقيقي لـ i.

من المعتاد استخدام المتغير z للإشارة إلى عدد مركب عام،

واللعبة اللي نبغى نلعبها هي إننا نفهم دوال مختلفة لـ z.

مثال بسيط جدًا لكنه مهم هو إنك تضرب z في ثابت معيّن.

الدالة f لـ z تساوي 2 في z، وتأثيرها هو إنها تكبّر كل شيء بعامل مقداره 2.

لكن ماذا عن الضرب في شيء تخيلي، مثل i، الجذر التربيعي للسالب واحد؟

طيب، أنت تعرف إن ضرب الواحد في i يعطيك i، وبحسب التعريف، i في i يساوي سالب واحد.

ولو تلاحظ، كلا هذين يمثلان دورانًا بمقدار 90 درجة،

وبشكل أعم، ضرب أي قيمة z في i يعطي تأثير دوران 90 درجة.

وأعم من ذلك، لما تضرب في أي ثابت مركب، يكون التأثير مزيجًا من التكبير والدوران.

وفيه طريقة جميلة نفكر فيها في مقدار التكبير والدوران بالضبط.

الصفر مضروبًا في أي شيء يساوي صفر، لذلك لازم يظل الأصل ثابت في

مكانه، وبعدها الواحد مضروبًا في أي ثابت c يساوي نفس ذلك الثابت c.

فهذا يعني إن هذه النقطة عند الواحد لازم تُسحب إلى المكان اللي يقع فيه

ذلك الثابت c اللي نتكلم عنه، وهذا يحدد بالكامل مقدار التكبير والدوران.

ومن هناك، بقية الشبكة تظل صلبة قدر الإمكان.

نقطة أساسية لازم نؤكد عليها في قصتنا هي إنه إذا كل اللي

تسويه هو الضرب في ثابت معيّن، فالأشكال تظل محفوظة دائمًا.

أي شيء ممكن تحب ترسمه، مثل مربع، ممكن يكبر أو يدور، لكن غير كذا ما فيه أي تشوّهات.

الآن تبدأ الأمور تصير أكثر إثارة مع الدوال الأعقد.

مثال بسيط لكنه مو تافه هو إننا نربط كل عدد z بـ z تربيع.

فالمدخل 2 لازم ينتقل إلى 2 تربيع، اللي هو 4.

والمدخل i لازم ينتقل إلى i تربيع، اللي هو سالب 1.

أما سالب 1 نفسه فلازم ينرسم إلى موجب 1.

وبشكله الكامل، هذا هو اللي يصير إذا خليت كل نقطة بين

خطوط الشبكة في فضاء الإدخال تنتقل إلى مخرجاتها المقابلة.

يعطي تأثير جميل جدًا، وعلى عكس الضرب في ثابت، الشكل هنا أكيد ما عاد يظل محفوظ.

خطوط الشبكة تنحني وتلتوي.

لكن، وهذه نقطة مهمة، انتبهوا للي يصير على مقياس صغير.

مثلًا، إذا ركزنا فقط على هذا المربع الصغير من فضاء الإدخال.

وأنت تشاهد التحويل يصير مرة ثانية، تقدر تشوف إن الشكل يظل

محفوظًا تقريبًا، على الأقل إذا كان المقياس صغير بما يكفي.

المربعات الصغيرة من شبكتنا الأصلية تظل تقريبًا مربعات حتى بعد ما تعالجها الدالة.

وباستخدام المصطلح الرياضي، الدالة z تربيع تعتبر دالة مطابقة الزوايا.

واختيار z تربيع هنا فعلًا مو شيء مميز بحد ذاته.

وهذا هو شكل الأمر إذا حوّلت كل نقطة z إلى z تكعيب.

المربعات تظل تقريبًا مربعات.

أوكي، يمكن هذا المربع اللي أحدده ما يبان مربعًا تمامًا

في الناتج، لكن فعليًا السبب بس إنه بدأ بحجم كبير زيادة.

وللتوضيح، خاصية المطابقة الزاوية اللي أتكلم عنها هي خاصية حدّية.

يعني مربع معيّن قد لا يتحول بالضبط إلى مربع، لكن الفكرة إنه كلما قربت أكثر وأكثر،

واخترت مناطق مربعة من فضاء الإدخال أصغر فأصغر، فالناتج فعلًا يصير أقرب وأقرب إلى مربع.

وبرضه ما فيه شيء مميز جدًا في اختيار كثيرات الحدود مثل z تربيع أو z تكعيب.

تقريبًا لأي دالة للأعداد المركبة ممكن تفكر تكتبها، هذه الخاصية تظل صحيحة.

الشكل يظل محفوظًا إذا كان المقياس صغير بما يكفي.

الأمر يكاد يكون مثل السحر.

واستخدام الأعداد المركبة هنا له أهمية كبيرة جدًا.

أما لو كنت تفكر في النقاط في الفضاء ثنائي الأبعاد فقط كزوج من الأعداد الحقيقية بإحداثيات

x وy، وكتبت دالة عشوائية في x وy لتعطيك زوجًا جديدًا من الأعداد، فالشيء الأكثر شيوعًا

بكثير جدًا عندما تتحول نقاط فضاء الإدخال هذا هو إن مخرجات تلك المربعات الصغيرة تنضغط

وتتشوه.

وحتى مع التقريب أكثر وأكثر، فالشكل الحدّي الناتج

غالبًا يبدو كمتوازي أضلاع، وليس بالضرورة مربعًا.

لذلك، الدوال المركبة فعلًا مميزة بهذه الطريقة.

والسبب الأساسي اللي يخلي المربعات الصغيرة تظل

مربعات يرجع في النهاية إلى حساب التفاضل والتكامل.

اللي عم تشوفه هو بالضبط معنى إن هالدوال عندها مشتقات.

يمكن هذا يبين شوي غريب، لكن التشبيه اللي ممكن تفكر فيه هو إنه بالنسبة

لمعظم دوال الأعداد الحقيقية، إذا تخيلتها بالطريقة المعتادة، مجرد رسم

بياني فيه المدخلات على محور x والمخرجات على محور y، فكل ما تكبّر أكثر

وأكثر على أي نقطة معينة في هالرسم، بتصير تبان أكثر وأكثر كأنها خط مستقيم.

يعني، معدل التغير، أو قديش بتحصل على Δf مقابل Δx معيّن، بيقترب من قيمة ثابتة.

وهذا حرفيًا هو معنى إن الدالة عندها مشتقة، لكنه مو الطريقة الوحيدة لتصوّره.

خلينا نشوف نفس الفكرة بطريقة ثانية.

بدل ما ننظر إلى الرسم البياني للدالة، خلينا نفكر في نفس الدالة لكن كتحويل.

يعني، راح نخلي كل نقطة من هالنقاط على خط الأعداد الحقيقي

تنتقل إلى المخرج المقابل إلها على خط الأعداد الثاني.

اللي راح تلاحظه هو إن النقاط المتساوية التباعد في فضاء الإدخال ممكن يصير

فيها تشوّه في فضاء الإخراج، وهذا يعني إن معدل تغيّر الدالة بشكل عام مو ثابت.

المسافة بين نقاطنا ممكن تتغيّر من جزء من الصورة لجزء ثاني.

لكننا نعرف إنه كل ما تكبّر أكثر وأكثر على مخرج معيّن، معدل التغير بيقترب من قيمة ثابتة.

النقاط بتبان متساوية التباعد أكثر وأكثر.

وبالتحديد، إذا أخذت رقعة صغيرة جدًا من النقاط حول مُدخل معيّن

ونسختها إلى فضاء الإخراج حول المخرج المقابل، تقدر تقريبًا تصف

كل النقاط فوق بعض فقط عن طريق تكبير كل شيء بعامل ثابت معيّن.

وهذه هي نفس الحقيقة التحليلية اللي بيعطيك إياها ميل الرسم البياني، بس ضمن سياق بصري مختلف.

لكن هذا السياق ينتقل بسهولة أكبر بكثير لما نفكر في

الدوال ذات القيم المركبة كتحويلات على المستوى المركب.

هناك راح نفكر في الجوار حول مُدخل معيّن على إنه شبكة صغيرة جدًا من النقاط،

مثل ما كنا نعمل قبل، ونخلي كل نقطة في هالشبكة تنتقل إلى المخرج المقابل إلها.

في هالحالة، معنى إن معدل التغير يقترب من ثابت هو تقريبًا نفس المعادلة بالضبط.

الصورة اللي لازم تكون في بالك هي إنه إذا أخذت هالرقعة الصغيرة من المربعات

حول المُدخل ونسختها إلى المخرج المقابل، تقدر تقريبًا تطابقها مع خطوط

شبكة الإخراج عن طريق الضرب في ثابت معيّن، واللي تذكّر، في سياق الأعداد

المركبة، يعني تدويرها وتكبيرها بطريقة ما حسب قيمة هذا الثابت المركب.

وبما إن التدوير والتكبير يحافظان على الشكل، فهذا يعني إن كل المربعات

الصغيرة من فضاء الإدخال تظل، على الأقل تقريبًا، مربعات تحت هذا التحويل.

فإذا رجعنا خطوة لورا، هذه هي الفكرة الأساسية، والسبب اللي خلانا أصلًا نحكي عن كل هذا.

مع إن الخرائط المطابقة مثل اللي كان إيشر يستخدمها في معرض المطبوعات تبعه مقيّدة

جدًا ونادرة بشكل كبير مقارنة بكل الطرق العامة اللي ممكن تضغط فيها الفضاء ثنائي

الأبعاد بشكل متواصل، مع ذلك، وكأنه سحر، مجرد إنك تتكلم بلغة الأعداد المركبة،

تقدر بطريقة ما تنشئ عائلات كاملة من هالخرائط المطابقة بدون حتى ما تبذل جهد كبير.

كل اللي عليك تعمله هو إنك تركّب وتمزج بين الدوال القياسية للأعداد المركبة.

والقيد الوحيد هو إن هالدوال لازم يكون عندها مشتقات، لكن هذا

غالبًا بيكون صحيح لمعظم الدوال اللي ممكن يخطر ببالك تكتبها.

وبالنسبة لقصتنا، قصة فك شيفرة اللي عم يصير في معرض المطبوعات، هذا

يعني إنه صار عندنا طريقة جديدة تمامًا لإعادة صياغة السؤال الأساسي.

هل تقدر تبني دالة مركبة مصممة بعناية بحيث إن فعل التزويم

حول المدخلات يبان مثل المشي في حلقة بين المخرجات؟

والآن، في هالمرحلة، ومع بس الحد الأدنى من الدورة السريعة جدًا في التحليل

المركب اللي صار معنا، صعب نعرف من وين نبدأ قبل ما نبني أولًا مجموعة أكبر

من الدوال نشتغل فيها ونكوّن بعض الألفة مع كيف تتصرف فعليًا مع الأعداد المركبة.

في هالحالة، فعلًا ما فيه إلا دالتين لازم تفهمهم: e^z واللوغاريتم الطبيعي.

أبغى نتمهّل ونقضي وقتًا له معنى في فهم هالثنتين،

وأعتقد إنك راح توافق إن هذا وقت مستحق فعلًا.

كل واحد، برأيي، بيستاهل مرة واحدة على الأقل بحياته يعيش متعة فهم اللوغاريتم العقدي.

لكن أول شي، في شرط أساسي لازم قبله نفهم الدالة الأسية العقدية.

المتابعين الدائمين غالبًا متعودين على شكل رفع e لقوة عدد عقدي، بس المراجعة ما بتضر أبدًا.

فينا نبدأ نبني التحويل شوي شوي بمجرد ما نركز على الأمثلة المألوفة

أكثر، يعني مدخلات الأعداد الحقيقية والمخرجات الحقيقية اللي بتقابلها.

مثلاً، e للقوة 0 بتساوي 1، فهاي النقطة عند 0 بتننتقل لهاي النقطة عند 1.

وبعدين كل مرة بتخلي هالمدخل يزيد بمقدار 1، المخرج

بيكبر بعامل e، يعني بصراحة بيهرب منا بسرعة كبيرة.

وعلى الجهة الثانية، لما تنقص هالمدخل وتخليه يدخل في الأعداد

السالبة، كل خطوة لليسار بتقابلها تصغير في المخرج، وبرضه بعامل e.

وبالذات، رح تلاحظ هون إن المخرج دائمًا عدد موجب.

وطبعًا الموضوع بصير أمتع بكثير لما نخلي المدخلات والمخرجات كلهم أعداد عقدية.

وهون، كل اللي لازم تعرفه بيرجع للي بصير لما تخلي الجزء التخيلي من هالمدخل يزيد.

واللي بصير وقتها إن المخرج المقابل بيلف حول دائرة.

إذا كنت متسائل ليش المدخلات التخيليّة للدالة الأسية بتخليك تمشي حول

دائرة بهالشكل، فقد حكينا عن هالموضوع مرات كثيرة جدًا قبل على هالقناة.

شوف بعض الروابط على الشاشة وفي الوصف.

نقطة أساسية بدي أكررها هون هي إن اللي بيخلي الدالة e للقوة z لطيفة جدًا،

مقارنة بالدوال الأسية ذات الأسس الثانية، هو إنك لما مدخلك يطلع للأعلى

بسرعة 1 وحدة بالثانية، المخرج بيلف حول دائرته بسرعة 1 راديان بالثانية بالضبط.

فبالتحديد، زيادة الجزء التخيلي بمقدار 2 باي بالضبط بتسبب دورة كاملة واحدة في المخرج.

وبصياغة ثانية، هالقطع المستقيمة العمودية اللي كنت برسمها، واللي ارتفاع كل واحدة

منها 2 باي بالضبط، بتنرسم بشكل مرتب على دائرة كاملة واحدة لما تطبق الدالة.

رح تلاحظ إني رسمت هالقطع العمودية المحددة بحيث تكون متباعدة بالتساوي

بالاتجاه الحقيقي، بحيث إن الجزء الحقيقي من 1 للي بعده يزيد بمقدار 1.

الدوائر المقابلة على اليمين كل وحدة منها بتختلف عن

الثانية بعامل تحجيم ثابت، وبالتحديد عامل التحجيم هو e.

بالبداية، مع الدالة الأبسط z تربيع، كنت عرضتها كتحويل يحرك كل المدخلات إلى المخرجات.

وبهالحالة، بالنسبة لـ e للقوة z، إذا كنت فضولي تشوف كيف بتطلع

نفس الفكرة، فأسهل شي إنك تاخذ جزء من الشبكة، مثل هالجزء من فضاء

الإدخال، وهاي هي الصورة لما تنقل كل مربع إلى المخرج المقابل إله.

ولما نستخدم هالدالة فعلًا لأهداف معرض الطباعات تبعنا، رح يكون مفيد جدًا تثبت

الفكرة براسك عن طريق التفكير بهالخطوط العمودية والدوائر اللي بتتحول إلها.

في الواقع، في طريقة مرحة جدًا أنا بحب أتخيل فيها كيف هالخطوط العمودية

بتتحول إلى دوائر متحدة المركز، وكيف ممكن تشيل معها فضاء الإدخال كامل.

الطريقة اللي بحب أتخيلها هي كأني بلف هالمستوى z كله

على شكل أنبوب، بحيث تصير كل هالخطوط العمودية دوائر.

وبالتحديد، كل دائرة رح يكون محيطها 2 باي.

وبعدين، تخيل إنك تاخذ هالأنبوب، وتحطه بمحاذاة فوق الأصل في فضاء

المخرجات، وبعدها كأنك بتضغطه لتحت على فضاء المخرجات، وبتحوّل كل

الدوائر من هالأنبوب إلى هالحلقات متحدة المركز ذات الأحجام اللي تكبر بشكل أسي.

هاي بس الطريقة اللي أنا بحبها، لكن مهما كانت الطريقة اللي تختارها لتفكر

فيها، اللي بدي ينطبع براسك هو فكرة إن الخطوط العمودية بتتحول إلى دوائر.

هلق، النقطة المهمة الثانية جدًا اللي لازم نركز عليها

هون هي إن مدخلات مختلفة متعددة ممكن توصل لنفس المخرج.

مثلاً، e أس صفر تساوي واحد، لكن e أس 2πi تساوي أيضًا واحد.

وكذلك e أس سالب 2πi وe أس 4πi وهكذا.

في الواقع، أي تسلسل لا نهائي على أي خط عمودي معيّن ومتباعد بمقدار 2π،

كله بينضغط ويندمج مع بعض لما يلتف هذا الخط العمودي كأنه ينلف إلى دائرة.

نقول إن دالة الأسّية many-to-one، رغم إنه قد لا يكون واضحًا كيف إن هذا التكرار في

الاتجاه العمودي بيكون عنصرًا أساسيًا في إعادة صنع تأثير معرض المطبوعات في النهاية.

طيب، إذًا الدوال الأسّية تعطينا أول مكوّن، والمميز فيها إنها تحوّل الخطوط إلى

دواير، والمكوّن الثاني اللي نحتاجه هو معكوس هذه الدالة الأسّية، المعروف

باللوغاريتم الطبيعي، والفكرة الأساسية فيه إنه يفكّ هذه الدواير ويرجعها إلى خطوط.

والآن، بيكون هذا ممتع جدًا في التصور ومرتبط جدًا بقصتنا إذا تخيلنا إننا

نلوّن هذا المستوى العقدي على اليمين بصورة دروستا، مثل المثال اللي كنا

نشتغل عليه قبل، مع مخلوق π اللي يناظر صورة بيت يعيش فيه نفس مخلوق π.

بمعنى آخر، أخيرًا جاء الوقت أنا وأنت نجاوب فيه على سؤال:

إيش يعني إنك تأخذ اللوغاريتم الطبيعي لصورة؟

طيب، فكّر في هذا لثانية.

أنت تعرف بالفعل إن قطعة خط عمودي مثل هذه على اليسار

وارتفاعها 2π تتحول إلى دائرة لما تطبّق الدالة e أس z.

إذًا اللوغاريتم الطبيعي راح يأخذ دائرة من النقاط على هذه

الصورة وبعدين يفردها ويحّولها إلى واحد من هذه الخطوط.

وبنفس الطريقة، لو نظرت إلى دائرة أصغر تمامًا بمقدار e مرة، فهي أيضًا

راح تنفرد إلى خط له نفس الارتفاع ومكانه منزاح وحدة واحدة إلى اليسار.

وبرضه، كل دائرة بين هاتين الدائرتين راح تنفك إلى واحد من هذه الخطوط العمودية

الواقعة بين آخر خطين، وبشكل أعم، الحلقات الأصغر والأصغر في الصورة كلها راح تنفرد

إلى قطع خط عمودية هذه، كل واحدة ارتفاعها 2π، وتكون أبعد فأبعد إلى اليسار في الصورة.

النتيجة اللي نحصل عليها شوي مدهشة وتدوّخ، لكنها رائعة

جدًا إذا فكرت فيها، وفيه عدة أشياء مهمة أبغاك تلاحظها.

أكيد لاحظت إنها تتكرر كلما تحركت إلى اليسار، وراح أخليك تتأمل للحظة ليش ممكن يصير

هذا في الخلفية، لكن قبل هذا التكرار، أبغى أتكلم عن اتجاه مختلف يتكرر فيه الشكل.

بالطريقة اللي رسمتها فيها إلى الآن، الجزء التخيلي للقيم على اليسار

يمتد من 0 إلى 2π، لكن هذا في الحقيقة اختيار نوعًا ما اعتباطي.

تذكر، إذا واصلت تخلي القيمة z على اليسار ترتفع بمقدار 2π إضافية، فالقيمة

المقابلة e أس z على اليمين راح تواصل فقط الدوران حول نفس الدائرة مرة

ثانية، لذلك أتوقع إنك توافقني إنه يبدو على الأقل مغريًا إننا نخلي الصورة

تتكرر في هذا الاتجاه العمودي على امتداد كل واحد من هذه الخطوط العمودية.

والموضوع يشتغل بالعكس أيضًا، لما تخلي الجزء التخيلي على اليسار يصغر

وأنت نازل، فالقيمة المقابلة على اليمين تظل تمشي حول نفس الدائرة،

لذلك النمط اللي تشوفه من المفترض ربما يتكرر بهذه الطريقة أيضًا.

ولتوضيح القاعدة أكثر، القاعدة اللي أستخدمها لرسم هذه الصورة

على اليسار هي إنه لكل نقطة z في هذا المستوى على اليسار، تنظر

إلى القيمة المقابلة e أس z على اليمين، ثم تعطيها لونًا مطابقًا.

فمثلاً، هذا مخلوق π المشوّه وهذا وهذا كلهم في الحقيقة يقابلون نفس

الجزء من الصورة على اليمين، وهو مخلوق π الكبير في أسفل اليسار.

طريقة ثانية للتفكير في هذا هي إنه بما أن الدالة e أس z هي many-to-one،

فالإحساس اللي يوصلنا هو إن اللوغاريتم الطبيعي، باعتباره معكوسها، كأنه

يريد يكون دالة متعددة القيم، شيء يكون فيه دخل واحد يقابله عدة مخارج مختلفة.

لكن عمليًا، في كثير من الأحيان أنت ما تبغى الدالة يكون لها عدة نواتج،

وأحيانًا هذا حتى يخالف تعريف الدالة في السياق اللي عندك، لذلك الناس غالبًا

يختارون شريطًا من هذا المستوى على اليسار ليكون هو مخرجات اللوغاريتم الطبيعي.

وفي التحليل العقدي، هذا يسمّى اختيار branch cut للدالة.

لكن بالنسبة لغرضنا هنا، بما إننا نبغى نعيد صنع عمل إيشر ونفهمه، فمن الجميل فعلًا

إننا نفكر في اللوغاريتم كدالة متعددة القيم، بحيث كل نقطة على اليمين تقابلها سلسلة

متكررة من النقاط على اليسار، متباعدة عموديًا بمقدار 2π، وتمتد بلا نهاية في الاتجاهين.

أما في حالتنا الخاصة، فأنت أيضًا ترى هذا النمط المتكرر

كلما تحركت إلى اليسار، لكن هذا شيء مختلف تمامًا.

لن ترى هذا في أغلب الصور.

وهو يظهر تحديدًا لأننا نشتغل على صورة دروستا ذات تشابه

ذاتي، صورة تبدو متطابقة كلما قرّبتها بعامل معيّن.

وهذا يخرج مباشرة من خاصية أساسية في اللوغاريتمات والدوال الأسّية.

الدوال الأسّية تحوّل الجمع إلى ضرب، واللوغاريتمات ترجع الضرب إلى جمع.

مثلاً، تخيّل إنك تاخذ قيمة صغيرة w على هذا المستوى اللي على اليمين، وبرضه

تنظر إلى 16 ضعف هذي القيمة، يعني مكبّرة ومبتعدة عن الأصل بمقدار 16 مرة.

والحين إذا نظرنا إلى القيمة المقابلة، لوغاريتم w على اليسار، فعملية الضرب في 16 تصير

كأنها جمع، وتحديدًا إزاحة إلى اليمين بمقدار اللوغاريتم الطبيعي لـ 16، وهو مجرد عدد حقيقي.

فعليًا، هذا المستطيل هنا في صورة اللوغاريتم الغريبة والمشوّهة عندنا، اللي

عرضه log 16 وارتفاعه 2 pi، يحتوي كل المعلومات عن الصورة اللي على اليمين.

وهو يقابل هذه الحلقة من صورة دروستا، ولو حرّكت هذا المستطيل إلى

اليسار بمقدار log 16 بالضبط، راح تحصل على نسخة مصغّرة من هذه

الحلقة أصغر تمامًا بـ 16 مرة، وتدخل فيها بشكل مثالي كأنها قطعة بازل.

ولو كررت هذا عددًا لا نهائيًا من المرات، يطلع لك

هذا التعشيق اللانهائي اللي يميّز تكبير دروستا.

بالطريقة اللي رسمت فيها الأشياء إلى الآن، عندنا هذا القطع في صورة

اللوغاريتم من الجهة اليمنى، وفي هذه المرحلة أنت تعرف كويس إن الخطوط

العمودية على اليسار تقابل دوائر على اليمين، فممكن تتوقع إن هذا يقابل

حقيقة إني حطّيت نصف قطر أقصى لتلك صورة دروستا، لكن طبعًا ما فيه حاجة تسوي كذا.

من حيث المبدأ، تقدر تمتد إلى ما لا نهاية في كل الاتجاهات، مع نفس النمط

الذاتي التشابه كل ما تكبّر، والنتيجة في صورة اللوغاريتم على اليسار

بتكون إنها تمتد إلى اليمين بقدر ما تبغى، وبرضه مع نمط تبليط متكرر.

فباختصار، صورة اللوغاريتم على اليسار دورية رأسيًا، بشكل أساسي لأن الدوران على اليمين دوري.

وهذا بيصير لأي صورة.

وفي هذه الحالة الخاصة لصورة دروستا، هي كمان دورية

أفقيًا، لأن صورة دروستا تعيد نفسها كل ما تقرّب فيها.

وهذه الخاصية الدورية المزدوجة هي اللي بالنهاية

راح نستفيد منها للوصول إلى النتيجة النهائية.

والآن صار عندنا كل الأساس اللي نحتاجه.

وأقدر الآن أخيرًا أوصف لك الدالة اللي تحوّل تكبير

دروستا إلى هذه الحلقة المغلقة على طريقة إيشر.

وقبل ما ندخل فيها مباشرة، إحنا غطّينا أشياء كثيرة نوعًا ما،

فممكن يستاهل نعطي الموضوع شوي مساحة عشان يستوعبه الواحد.

وكنت ناوي آخذ 30 ثانية سريعة في نقطة ما من هذا الفيديو عشان

أتكلم عن 3b1b talent، فالحين يبدو وقت مناسب مثل أي وقت ثاني.

هذا هو معرض الوظائف الافتراضي اللي أجربه هذه السنة، والفكرة الأساسية

هي إنك، كشخص يقضي وقت فراغه يتعلم عن أشياء مثل اللوغاريتمات المركبة،

على الأغلب مهتم تشتغل مع فرق تشبهك في التفكير، فضولية، وتقنية.

فإذا كنت تدور على وظيفة جديدة أو منفتح لفكرة وظيفة

جديدة، ألقِ نظرة على الجهات الموجودة في 3b1b.co.

talent.

ولما تستكشف هذه الصفحة، راح تلقى مقابلات بيني وبين الفرق المعنية، وألغاز وتحديات تقنية

اختاروا هم يعرضونها لك، وأشياء مختلفة ثانية هدفها تعطيك إحساس بثقافة الفريق التقنية.

وبصراحة أنا عاجبتني فكرة إني أعرّض هذا الجمهور لفرص مهنية مناسبة لهم،

لذلك كلما كنت تبحث عن وظيفة، سواء الآن أو لاحقًا، تأكد إنك تطّلع عليها.

طيب، نرجع لهدفنا الأساسي.

كيف نقدر نستخدم كل اللي بنيناه عن الدوال المركبة والتحويلات اللي تعطينا خرائط

مطابقة وكل هذا، عشان نبني نوعًا ما دالة تعيد خلق تأثير معرض المطبوعات الخاص بإيشر؟

يمكن أسهل شيء إذا حطّيت لك المخطط الكامل للدالة

مرة وحدة، وبعدها نمر على كل خطوة بتفصيل أكثر.

أولاً، نأخذ لوغاريتم، فيعطينا هذا النمط الغريب من التبليط الدوري

المزدوج، وبعدها تدوّر وتكبّر هذا النمط بالطريقة المناسبة تمامًا، ثم

من هناك تأخذ دالة أسّية ترجع تفكّ التشوّه، لكن هذه المرة مع لمسة معينة.

قد يبان هذا غريب شوية، لكن في الحقيقة فيه طريقة جميلة

جدًا تخلّي الفكرة منطقية وتوضح وش اللي فعلاً يصير هنا.

ارجع وانظر إلى صورة دروستا الأصلية، وتذكّر كيف إننا نريد نأخذ هذا المخلوق الدائري

الكبير ونربطه somehow بالنسخة الأصغر المشابهة ذاتيًا، بعد تكبير للداخل بمقدار 16 مرة.

عايزك تتخيل خط بيوصل بين الاتنين دول.

طريقة واحدة لصياغة الهدف اللي عندنا هي إننا عايزين الدالة

النهائية تحول خط زي ده إلى حلقة مقفولة في الفضاء النهائي.

نقطتا نهاية الخط اللي فوق بيمثلوا مخلوق الباي الكبير والصغير، فبالتالي

أي دالة بتطابق بين المخلوقين دول لازم، على الأقل، تقفل الخط ده.

دلوقتي فكر شكل الخط ده عامل إزاي في لوغاريتم الصورة.

مخلوق الباي الكبير بيقابل كل النسخ المتعددة دي هنا جنب الخط التخيلي.

زي ما اتكلمنا، لما بتصغّر الصورة، ده بيقابل إزاحة لليسار في اللوغاريتم،

فبالتالي النسخ دي في صورة اللوغاريتم بتمثل مخلوق الباي الصغير ده.

وفي الحقيقة، بدل ما نستخدم الخط الأفقي ده، إحنا هنحب نستفيد

من حقيقة إن صورة اللوغاريتم دي دورية في اتجاهين منفصلين.

فبدلًا من كده، هنشتغل بخط مائل بيوصل بين النسخة دي من

الشكل الكبير والنسخة اللي تحت على الشمال من الشكل الصغير.

وده ممكن يبان من غير دافع حاليًا، وهو فعلًا كده، لكن أحسن طريقة

أشرح بيها ليه هي إني أورّيك بس ده بيمشي إزاي، وبعدها لو حبيت

نقدر نقارن بده اللي كان هيحصل لو حاولت تستخدم الخط الأفقي.

دلوقتي المكوّن الهابط الجديد ده في صورة اللوغاريتم بيقابل

إضافة دوران مع عقارب الساعة للمسار في الصورة الأصلية.

افتكر، هدفنا إننا نحوّل ده إلى حلقة في الصورة النهائية، لكن أنا وإنت لسه قاضين

تقريبًا 10 دقايق بنتكلم بالتفصيل عن دالة بتحوّل مقاطع الخطوط إلى دواير، وهي e^z.

اللي محتاج تعمله هو إنك تخلّي قطعة الخط دي تنتهي وهي عمودية

تمامًا وارتفاعها 2π، وده في الأساس بيرجع إلى إنك تلفها وتكبّرها

أو تصغّرها بالطريقة المظبوطة عشان تاخد الطول والاتجاه دول.

دلوقتي لو فاكر، وإحنا كنا بنسخّن مع الأعداد المركبة، اتكلمنا عن إزاي الضرب

في ثابت بيديك مزيج من دوران وتغيير مقياس، وفي الحالة دي فيه لمسة فنية ممكن

تعجبنا، وهي إن مخلوق الباي الكبير اللي تحت على الشمال يفضل ثابت في مكانه،

وده معناه إن النقطة دي في صورة اللوغاريتم لازم تفضل ثابتة في مكانها، فبدل

ما كل حاجة تلف حوالين الأصل، إحنا فعلًا عايزين كل حاجة تلف حوالين النقطة دي.

خلّينا نقول إننا سمّينا النقطة دي مثلًا z₀، وساعتها دي هتبقى شكل الصيغة

بعد التحديث للدوران وتغيير المقياس، لكن فعليًا معظم الموضوع بيرجع

لاختيار الثابت c اللي هتضرب فيه، ولو بتحب التمارين، ممكن تستمتع فعلًا

لو وقفت لحظة وحاولت تطلع القيمة المحددة اللي لازم ياخدها الثابت ده.

لكن هنا، بما إننا بنتعامل بشكل بصري جدًا وأنا عايز أستمتع شوية، خلّيني أورّيك الثابت ده

في المستوى المركب الصغير الخاص بيه، وكمان أورّيك إيه اللي بيحصل لو مسكته وحرّكته شوية.

اختيارات مختلفة بتديك تغييرات مختلفة في المقياس والدوران، واللي

بعد تطبيق الأس بتطلع منه كل الصور الكاليدوسكوبية الغريبة جدًا دي.

طريقة ممكن تفكر بيها في العملية كلها هي على إنها لعبة بتحاول فيها تلاقي القيمة

المظبوطة اللي بتخلّي كل حاجة تصطف بالطريقة اللي محتاجها في الصورة اللي تحت على اليمين.

ولما بتتظبط على القيمة المناسبة دي ونحصل على تأثير إيشر المعاد

تكوينه، في الصورة النهائية اللي تحت على اليمين، أنا كنت بوري الفتحة

دي في النص، المشابهة للفتحة اللي كانت موجودة عند إيشر في عمله الأصلي.

لكن ده في الحقيقة مفتعل تمامًا.

صورة الخرج للدالة بطبيعتها بتملى المنطقة دي بنمطها الحلزوني المتكرر للداخل.

في النهاية، نمط التبليط الملفوف على الشمال ممتد بلا نهاية عبر المستوى

كله، فلما تاخد له الأس، هو كمان بيملى كل حاجة، ما عدا النقطة عند الصفر.

وده كل شيء!

دي هي العملية الأساسية.

حوّل للمجال اللوغاريتمي الغريب الشكل ده، ولف وكبّر أو

صغّر عشان تعيد محاذاة الأشياء، وبعدها ارجع بعملية الأس.

في المرحلة دي، بعد ما عملنا نسختنا الخاصة من إيشر، ممكن يكون لطيف

إننا نمشي على نفس العملية ونشوف شكلها في مثال إيشر نفسه بالتحديد،

مدينة مالطية ساحلية فيها معرض مطبوعات وشخص بيبص على صورة للمدينة.

زي ما عملنا قبل كده، الخطوة الأولى هي إننا نحط المشهد ده على مستوى مركب صغير خاص

بيه، بحيث تكون نقطة النهاية اللانهائية اللي كل حاجة بتتدرج حولها موجودة عند الصفر.

الخطوة التانية، ناخد لوغاريتم لده، وده في الحالة دي بيدينا

تحويل غريب مشابه للمشهد كله، لكن فيه اختلاف بسيط المرة دي.

لأن أسشر كان يشتغل على تقريب أعمق بكثير، بمعامل مقياس 256، فالبلاطات

المتكررة في هالمثال الجديد تمتد فعليًا على جزء أوسع من المستوى العقدي.

الخطوة الثالثة، مرة ثانية، هي إننا ندوّر هذا ونغيّر

مقياسه، وهذا يعتمد على ضربه في الاختيار المناسب لثابت عقدي.

الشرط هنا هو التأكد إن هالصورة بعد تدويرها تظل تتكرر كل 2π

وحدة عموديًا، لكن على طول جزء من الصورة كان قبل بشكل قطري.

وبعدين الخطوة الرابعة، مرّر كل هذا عبر e أس z، والنتيجة شيء قريب جدًا من صورة

أسشر النهائية، صورة يكون فيها المشي حول حلقة مساويًا للتقريب للداخل بمعامل 256.

ومرة ثانية، لما نأطّر الموضوع بهالطريقة باستخدام

الدوال العقدية، ما فيه أي فجوة في المنتصف.

وهذي النتيجة النهائية هي نفسها صورة دروستا، لكن هالمرة مع لفة، بحيث يكون فيه

نوع من التشابه الذاتي يلتف بشكل حلزوني وينزل بلا نهاية مهما حبيت تقرّب للداخل.

فيه كم شغلة تستحق الملاحظة في هالعملية كلها.

أول شيء، إذا كتبت هالفكرة على شكل معادلة، بحيث تاخذ لوغاريتم، وتضربه في ثابت، وبعدين

ترفعه أسيًا، فهالشي فعليًا يقدر يتبسط ويصير كأنه مجرد رفع الإدخال لقوة ثابت عقدي معيّن.

وإذا رجّعت عامل الإزاحة، فهو بس يضيف ثابت ثاني.

من جهة، فيه شيء مُرضي جدًا في إن هالعملية المعقدة كلها ممكن تنضغط إلى عدد قليل

جدًا من الرموز على الصفحة، لكن أحس هذا ممكن شوي يطمس اللي قاعد يصير فعلًا.

وبرضه، كنت ذكرت إن الأمور ما راح تشتغل إذا حاولت تستخدم هذي الخطوط الأفقية فقط.

إذا كنت فضولي، فهذا هو شكل النتيجة لو جرّبت تسوي كذا، وهذا

يعني تدوير كل شيء 90 درجة وتغيير المقياس بالمقدار المناسب.

تطلع لك نتيجة فيها شيء مثير للاهتمام، لكنها ببساطة مو الشيء اللي نبغاه.

ولو فكرت فيها، اللي قاعد يصير أساسًا هو إنك تبدّل أدوار الدوران وتغيير المقياس.

إذا رجعنا خطوة للوراء ونظرنا للموضوع كله، فهذي النظرة الثانية، اللي يكون

فيها العمل كله قائم على الدوران داخل فضاء لوغاريتمي، تحسها مختلفة تمامًا

عن طريقة أسشر الأكثر حدسية باستخدام الشبكة المشوّهة وتشويه الشبكة.

لكن فيه خيط يربط بين النظرتين.

أولًا، صار بإمكانك الآن تفهم بالضبط كيف كنا نعيد صنع الشبكة اللي كان عند أسشر ونعدّلها.

ببساطة تأخذ نفس الدالة اللي بنيناها، لكن بدل ما

تطبقها على صورة، تطبقها على شبكة مربعة عادية.

أو بالأصح، مو شبكة مربعة عادية تمامًا.

الأفضل تشتغل على شبكة تصير أكثر كثافة كل ما قرّبت

للداخل عشان يظل شكلها نفسه على كل المقاييس.

لما تسوي هذا، يعطيك اللوغاريتم هذا النمط الجميل جدًا من التبليط المنحني.

وبعدين من هناك، تسوي نفس الحركة، تدوّر الأشياء بالطريقة المناسبة تمامًا، وبعدها تأخذ

الأسّي، فتطلع بنتيجة قريبة جدًا من الشيء اللي أسشر قضى ساعات طويلة ومتعبة في بنائه.

وتذكر، السبب الأساسي اللي خلانا نستخدم لغة الأعداد العقدية، والسبب اللي خلاني

أخليك تمر بكل هذي اللفات، هو إن خاصية المطابقة الزاوية هذي تظهر كنتيجة جانبية.

المربعات الصغيرة من الشبكة الأصلية تظل، على الأقل بشكل تقريبي، مربعات في النتيجة النهائية.

أسشر قال إن صنع هالقطعة سبب له صداعًا هائلًا، ومع إنك أنا وأنت يمكن تحملنا كم صداع

نحن بعد لكن لأسباب مختلفة جدًا، فالمكسب هو إن هالخاصية تجينا من دون أي مجهود إضافي.

وللتوضيح، أكيد مو لازم تفهم المشتقات العقدية أو

اللوغاريتمات عشان تستمتع بعمل أسشر، وما أبغى أوحي إنك لازم.

لكن لما تفهم هالجانب الرياضي أكثر، هذا يعطيك قدرة على

نوع مختلف تمامًا من التقدير للي كان أسشر يسويه فعلًا.

وهذا هو الشي اللي أشوفه مدهش في كل الموضوع، الربط

الحقيقي اللي أبغى أوصله بين الخطين القصصيين.

إذا نظرت لمسيرة إيشر، بتشوف إنه طولها كان منجذب لمفاهيم

معينة، أشياء مثل تمثيل اللانهاية داخل مساحة محدودة.

وفي نفس الوقت، كان شكله مسترشد بذائقة جمالية معيّنة، غالبًا قاعدة صارمة

ضمنية مثل فكرة إن المربعات الصغيرة تظل مربعات صغيرة في هاي الشبكة.

والنتيجة النهائية لما يندمج المفهوم مع الجماليات بهالشكل هي إن أي قطعة من إيشر

غالبًا تحسها كأنها حل للغز، لكن لغز من الأساس مش واضح حتى إنه لازم يكون له حل.

والشي اللي أشوفه يثير التفكير فعلًا هو إن هالألغاز البصرية

اللي وصل لها ما هي مجرد أشياء مشابهة لفعل ممارسة الرياضيات.

البُنى المحددة اللي كان منجذب لها بشكل حدسي غالبًا تخفي داخلها رياضيات حقيقية وعميقة جدًا.

في مثالنا، البنية الأعمق مو بس إن القطعة ممكن توصف بدوال مركبة.

الأفكار اللي لمسناها في هالقصة أقرب بكثير مما تتوقع إلى حدود البحث العلمي الحالية.

إذا رجعت لطريقتنا في النصف الثاني، تذكّر كيف كانت تعتمد على استخدام هذا

النمط الدوري المزدوج في المستوى المركب، شي يتكرر في اتجاهين منفصلين.

في الواقع فيه اسم خاص للدوال على الأعداد المركبة اللي تكون دورية مزدوجة بهالشكل.

معروفة باسم الدوال الإهليلجية.

وبيكون كثير لو شرحت هنا بالضبط ليش هالدوال مفيدة لهالدرجة، لكن شي واحد أبغى

أبرزه هو إن هذول العالِمَين اللي ذكرتهم في البداية، اللي قدموا تحليل هالقطعة،

دي سميت ولينسترا، هم الاثنين من منظّري الأعداد، والدوال الإهليلجية لها دور بارز

جدًا في نظرية الأعداد الحديثة، وتوفر نوع من الجسر إلى أجزاء أخرى من الرياضيات.

وهذا قد يفسر جزئيًا على الأقل كيف قدروا ينظروا لهاي

القطعة ويفكروا في بناء تلك الدالة اللي عرضناها هنا.

لما أنظر إلى أعمال إيشر، سواء كانت معرض المطبوعات أو كثير من

الأعمال المفضلة الأخرى، السبب اللي يخليني أحب هالقطع لهالدرجة

هو إنها توقظ داخلي شعور محدد جدًا وصعب ألاقيه في مكان ثاني.

هو شعور إن الأشياء تركب في مكانها بشكل مثالي.

لكن هذا مو الوصف الدقيق تمامًا.

هو أكثر من مجرد متعة رؤية لغز انحل.

هو تقدير للعبقرية الإبداعية المطلوبة أصلًا حتى لتخيّل اللغز من البداية.

المكان الوحيد الآخر اللي يجيني فيه هذا الشعور هو أثناء ممارسة الرياضيات.

فكون فنان وعالِم رياضيات ينجذبون إلى نفس البُنى، لكن لأسباب مختلفة

تمامًا، يوحي لي إن فيه شيء عالمي في طبيعة الشي اللي كل واحد منهم ينجذب له.